Какова скорость течения реки, если теплоход проплывает между пристанями и возвращается обратно за 3 часа 40 минут

Семён_6696

11

Чтобы найти скорость течения реки, нужно рассмотреть движение теплохода как сумму его собственной скорости и скорости течения реки. Пусть \( V_{\text{теплохода}} \) - скорость теплохода, а \( V_{\text{течения}} \) - скорость течения реки.

Когда теплоход движется вниз по течению реки, течение помогает ему перемещаться быстрее, поэтому время пути меньше. При возвращении вверх по течению реки, течение препятствует движению теплохода, поэтому время пути увеличивается.

Дано, что теплоход проплывает между пристанями и возвращается обратно за 3 часа 40 минут, то есть общее время пути теплохода составляет 3 часа 40 минут = 3.67 часа.

Расстояние между пристанями составляет 40 км, так что расстояние в одну сторону будет равно половине этого значения, то есть 20 км.

Теперь рассмотрим пошаговое решение:

Шаг 1: Найдем время, которое теплоход затратил на путь вниз по течению реки.
Пусть \( t_{\text{вниз}} \) - время, затраченное на путь вниз.

Так как время равно расстояние деленное на скорость, то:
\[ t_{\text{вниз}} = \frac{{20}}{{V_{\text{теплохода}} + V_{\text{течения}}}} \]

Шаг 2: Найдем время, которое теплоход затратил на путь вверх против течения реки.
Пусть \( t_{\text{вверх}} \) - время, затраченное на путь вверх.

Так как время равно расстояние деленное на скорость, то:
\[ t_{\text{вверх}} = \frac{{20}}{{V_{\text{теплохода}} - V_{\text{течения}}}} \]

Шаг 3: Найдем общее время пути теплохода:
Общее время пути теплохода равно сумме времени вниз и времени вверх:
\[ 3.67 = t_{\text{вниз}} + t_{\text{вверх}} \]

Шаг 4: Подставим значения времени в формулу из Шага 3 и приведем к общему знаменателю:
\[ 3.67 = \frac{{20}}{{V_{\text{теплохода}} + V_{\text{течения}}}} + \frac{{20}}{{V_{\text{теплохода}} - V_{\text{течения}}}} \]

Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно \( V_{\text{течения}} \).
На первом этапе мы можем умножить каждую долю в уравнении на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ 3.67 \cdot (V_{\text{теплохода}} + V_{\text{течения}}) \cdot (V_{\text{теплохода}} - V_{\text{течения}}) = 20 \cdot (V_{\text{теплохода}} - V_{\text{течения}}) + 20 \cdot (V_{\text{теплохода}} + V_{\text{течения}}) \]

После этого можно раскрыть скобки и собрать все слагаемые, содержащие \( V_{\text{течения}} \) и \( V_{\text{теплохода}} \):
\[ 3.67 \cdot (V_{\text{теплохода}}^2 - V_{\text{течения}}^2) = 40 \cdot V_{\text{теплохода}} \]

Шаг 6: Приведем уравнение к квадратному виду:
\[ 3.67 \cdot V_{\text{теплохода}}^2 - 3.67 \cdot V_{\text{течения}}^2 = 40 \cdot V_{\text{теплохода}} \]

Шаг 7: Перенесем все слагаемые в левую часть:
\[ 3.67 \cdot V_{\text{теплохода}}^2 - 40 \cdot V_{\text{теплохода}} - 3.67 \cdot V_{\text{течения}}^2 = 0 \]

Шаг 8: Решим полученное квадратное уравнение при помощи формулы дискриминанта:
\[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 3.67 \cdot (-3.67 \cdot V_{\text{течения}}^2}) \]

Шаг 9: Подставим значения \( a = 3.67 \), \( b = -40 \), и \( c = -3.67 \cdot V_{\text{течения}}^2 \) в формулу дискриминанта и найдем его значение.

Шаг 10: Решим квадратное уравнение и найдем скорость течения реки:
\[ V_{\text{течения}} = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} \text{ или } V_{\text{течения}} = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} \]

Подставив значения \( a \), \( b \), и \( D \), вычислим значения скорости течения реки.