Какова скорость течения реки, если теплоход проплывает расстояние 40 км в направлении течения на 20 минут быстрее

Tainstvennyy_Akrobat

37

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для нахождения скорости течения реки. Пусть \(v\) - скорость течения реки в километрах в час.

Когда теплоход движется по течению, его собственная скорость \((22 \, \text{км/ч})\) и скорость течения реки \((v \, \text{км/ч})\) складываются. Таким образом, скорость теплохода при движении по течению равна \(22 + v \, \text{км/ч}\).

Когда теплоход движется против течения, его скорость относительно реки уменьшается на скорость течения. Таким образом, скорость теплохода при движении против течения равна \(22 - v \, \text{км/ч}\).

Мы знаем, что теплоход проплывает расстояние 40 км в направлении течения на 20 минут быстрее, чем против течения. Нужно заметить, что 20 минут можно перевести в часы, разделив на 60, получим \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа.

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем составить уравнение:

\(\frac{40}{22 + v} = \frac{40}{22 - v} + \frac{1}{3}\)

Мы привели расстояния, которые теплоход проплывает в обоих случаях, к общему знаменателю, чтобы легче производить вычисления.

Далее, нужно решить это уравнение, чтобы найти значение скорости течения реки \(v\). Продолжим дальше:

Умножим обе части уравнения на \((22 + v)(22 - v)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(40(22 - v) = 40(22 + v) + \frac{(22 + v)(22 - v)}{3}\)

Раскроем скобки:

\(40 \cdot 22 - 40v = 40 \cdot 22 + 40v + \frac{(22^2 - v^2)}{3}\)

Сократим подобные члены:

\(40 \cdot 22 - 40v - 40 \cdot 22 = \frac{(22^2 - v^2)}{3} + 40v\)

\( - 40v - 40 \cdot 22 = \frac{(22^2 - v^2)}{3} + 40v\)

Упростим выражение:

\(- 880 = \frac{484 - v^2}{3} + 40v\)

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы убрать знаменатель:

\(- 2640 = 484 - v^2 + 120v\)

Перенесем все члены с \(v\) на одну сторону и оставим только квадратный член:

\(0 = v^2 + 120v + 2640 - 484\)

Сократим выражение:

\(v^2 + 120v + 2156 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение, факторизацию или формулу корней.

Найдем корни этого уравнения:

\(v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Где \(a = 1\), \(b = 120\), \(c = 2156\).

Подставим значения и решим уравнение:

\(v = \frac{-120 \pm \sqrt{120^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2156}}{2 \cdot 1}\)

Вычислим:

\(v = \frac{-120 \pm \sqrt{14400 - 8624}}{2}\)

\(v = \frac{-120 \pm \sqrt{5776}}{2}\)

\(v = \frac{-120 \pm 76}{2}\)

Теперь найдем два значения скорости течения реки, взяв как положительный, так и отрицательный корни:

\(v_1 = \frac{-120 + 76}{2} = \frac{-44}{2} = -22\)

\(v_2 = \frac{-120 - 76}{2} = \frac{-196}{2} = -98\)

Мы получили два значения для скорости течения реки: -22 км/ч и -98 км/ч.

Однако, из физических соображений скорость течения реки не может быть отрицательной. Поэтому исключаем значение -98 км/ч.

Итак, скорость течения реки равна 22 км/ч.