Какие значения целого положительного числа p приводят уравнение X²-px-8=0 к наличию целочисленных корней?

Dobryy_Lis

59

Для решения этой задачи используем метод дискриминанта. Найдем дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(X^2 - px - 8 = 0\) по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -p\), \(c = -8\).

Подставим значения \(a\), \(b\), \(c\) в формулу и упростим выражение:

\[D = (-p)^2 - 4(1)(-8) = p^2 + 32\]

Чтобы уравнение имело целочисленные корни, дискриминант должен быть полным квадратом. Это означает, что существует целое положительное число \(p\), для которого \(p^2 + 32\) является квадратом целого числа.

Проанализируем несколько значений \(p\) и проверим их дискриминанты:

1. Пусть \(p = 1\). Тогда \(D = 1^2 + 32 = 33\), которое не является квадратом целого числа.
2. Пусть \(p = 2\). Тогда \(D = 2^2 + 32 = 36\), что является квадратом целого числа (\(6^2\)).
3. Пусть \(p = 3\). Тогда \(D = 3^2 + 32 = 41\), что не является квадратом целого числа.
4. Пусть \(p = 4\). Тогда \(D = 4^2 + 32 = 48\), что не является квадратом целого числа.
5. Пусть \(p = 5\). Тогда \(D = 5^2 + 32 = 57\), что не является квадратом целого числа.

Из приведенных примеров видно, что значение \(p = 2\) приводит к уравнению \(X^2 - 2x - 8 = 0\) с целочисленными корнями.

Таким образом, ответ на задачу: значение \(p = 2\) приводит уравнение \(X^2 - px - 8 = 0\) к наличию целочисленных корней.