Какова скорость точки В, если кривошип ОА вращается вокруг оси О со скоростью 10 рад/с, а ползун А перемещается вдоль

Золотой_Король

31

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

У нас есть кривошип, который вращается вокруг оси О со скоростью 10 рад/с, и ползун А, который перемещается вдоль кривошипа и перемещает стержень АВ.

Для решения задачи, нам нужно найти скорость точки В.

1. Начнем с определения скорости точки В. Скорость точки В (Vb) определяется как производная от расстояния, пройденного точкой В по времени. В математической форме это записывается как Vb = d(AB)/dt, где dt обозначает малый интервал времени.

2. Теперь, чтобы найти эту производную, нам нужно воспользоваться теоремой косинусов. В треугольнике OAB, сторона AB можно выразить через стороны OA и OB, используя косинус угла между ними. Формула для вычисления стороны AB известна как формула косинусов:
AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(θ).

3. Снова дифференцируя это уравнение по времени, получим производную d(AB)/dt:
2 * AB * d(AB)/dt = 2 * OA * d(OA)/dt + 2 * OB * d(OB)/dt - 2 * OA * OB * sin(θ) * d(θ)/dt.

4. Для решения задачи нам также потребуется выразить d(OA)/dt, d(OB)/dt и d(θ)/dt через известные нам значения. Поскольку скорость вращения кривошипа равна 10 рад/с, мы получаем, что d(θ)/dt = 10 рад/с.

5. Однако, чтобы найти d(OA)/dt и d(OB)/dt, нам понадобится использовать закон производной сложной функции. Закон производной сложной функции утверждает, что d(f(g))/dt = df/dg * dg/dt. Применяя это к нашей задаче, получим:
d(OB)/dt = d(OB)/dθ * dθ/dt,
d(OA)/dt = d(OA)/dθ * dθ/dt.

6. Теперь нам нужно выразить d(OB)/dθ и d(OA)/dθ. Для этого нам понадобится использовать свойство производной тригонометрических функций. Поскольку OB может быть выражено через θ с помощью теоремы синусов, мы получаем:
OB = 2 * OA * sin(θ).

7. Теперь можем продифференцировать это уравнение по θ. Находим:
d(OB)/dθ = 2 * OA * cos(θ).

8. Осталось выразить d(OA)/dθ. Поскольку OA является постоянным расстоянием, d(OA)/dθ равно нулю.

9. Подставляя найденные значения обратно в наше уравнение из пункта 3, получим:
2 * AB * d(AB)/dt = 2 * OA * 2 * OA * cos(θ) * 10 - 2 * OA * OB * sin(θ) * 10.

10. Используя значение AB из формулы косинусов и значение OB из формулы синусов, упрощаем уравнение:
2 * AB * d(AB)/dt = 2 * OA² * cos(θ) * 10 - 2 * OA * 2 * OA * sin(θ) * 10.

11. Сокращаем уравнение:
AB * d(AB)/dt = OA² * cos(θ) * 10 - 2 * OA² * sin(θ) * 10.

12. Наконец, делим обе стороны уравнения на AB:
d(AB)/dt = OA² * cos(θ) * 10/AB - 2 * OA² * sin(θ) * 10/AB.

13. Осталось заметить, что AB является расстоянием между точками A и B, которое остается постоянным в этой задаче. Поэтому AB не зависит от времени и его производная равна нулю.

Ответ: скорость точки В равна нулю.