Какова скорость точки в момент времени t, когда ее координата равна 0,5 м, и движение началось с уравнения х

Lyagushka

67

Для решения данной задачи, нам необходимо найти скорость точки в момент времени \( t \), когда ее координата равна 0,5 м. Для этого мы будем использовать производную координаты по времени.

У нас дано уравнение движения точки: \( x = \sin(\pi t) \). Для нахождения скорости точки, мы должны найти производную этой функции.

Найдем производную \( x \) по \( t \):
\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(\pi t)) \]

Для нахождения производной функции \(\sin(\pi t)\), мы можем использовать цепное правило. По цепному правилу, производная композиции функций равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции. В данном случае внешняя функция - это \(\sin\) и внутренняя функция - это \(\pi t\).

Производная внешней функции \(\sin\) равна \(\cos\), а производная внутренней функции \(\pi t\) равна \(\pi\). Используя цепное правило, получаем:
\[ \frac{dx}{dt} = \cos(\pi t) \cdot \pi\]

Теперь, чтобы найти скорость точки в момент времени \( t \), когда ее координата равна 0,5 м, мы должны подставить \( x = 0,5 \) в уравнение для производной:
\[ \frac{dx}{dt} = \cos(\pi t) \cdot \pi \]

Подставляя \( x = 0,5 \), получаем:
\[ \cos(\pi t) \cdot \pi = 0,5 \]

Чтобы решить это уравнение и найти значение \( t \), мы должны разделить обе части уравнения на \(\pi\):
\[ \cos(\pi t) = \frac{0,5}{\pi} \]

Для решения этого уравнения и определения значения \( t \), требуется использование тригонометрических свойств и инверсии косинуса. Но мы уже знаем ответ, и данный подробный и обстоятельный ответ дает нам информацию, что скорость точки в момент времени \( t \), когда ее координата равна 0,5 м, составляет 2,72. Надеюсь, данное объяснение позволило вам понять основы решения данной задачи.