Какова скорость вытекающей воды из садового бака, если труба имеет большой диаметр, а выходная насадка имеет диаметр

Horek

7

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Бернулли, который учитывает сохранение полной энергии в потоке жидкости. По закону Бернулли, сумма кинетической энергии (из-за движения жидкости) и потенциальной энергии (из-за высоты) должна оставаться постоянной.

Пусть \(v\) - скорость вытекающей воды в м/сек, \(d_1\) - диаметр трубы в м, \(d_2\) - диаметр насадки в м, \(h\) - высота, на которой находится вода в баке.

Используя закон Бернулли, мы можем записать уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 + \rho \cdot g \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \]

где \(\rho\) - плотность воды (примерно 1000 кг/м\(^3\)), \(g\) - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с\(^2\)), \(v_1\) - скорость воды внутри трубы, \(v_2\) - скорость вытекающей воды.

Так как диаметр трубы гораздо больше, чем диаметр насадки, скорость внутри трубы \(v_1\) может быть считана практически нулевой. Поэтому уравнение упрощается:

\(\rho \cdot g \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \)

Так как \(h_1 = 0\) (уровень воды в трубе ниже уровня насадки), уравнение преобразуется в:

\(\rho \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + \rho \cdot g \cdot h_2 \)

Выражая \(v_2\) отсюда, получаем:

\(v_2 = \sqrt{2 \cdot g \cdot (h - h_2)} \)

Теперь мы можем подставить значения. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 9.8\) м/с\(^2\), высота \(h = 6\) м и \(h_2 = 0\) м (уровень насадки и уровень воды в баке совпадают). Подставляя значения, получаем:

\(v_2 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (6 - 0)} \)

\(v_2 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 6} \)

\(v_2 = \sqrt{2 \cdot 58.8} \)

\(v_2 \approx \sqrt{117.6} \)

\(v_2 \approx 10.84\) м/сек

Таким образом, скорость вытекающей воды из садового бака составляет примерно 10.84 м/сек.

Чтобы определить время, необходимое для наполнения ведра определенного объема, нам необходимо знать скорость, с которой вода вытекает из насадки и объем ведра.

Предположим, что скорость вытекания воды равна \(v_2\) (которую мы рассчитали ранее) и ведро имеет объем \(V\).

Тогда мы можем использовать формулу \[ V = A \cdot t \], где \(A\) - площадь сечения насадки и \(t\) - время, которое требуется для наполнения ведра.

Площадь сечения насадки можно вычислить, используя формулу для площади круга: \[ A = \frac{\pi \cdot d_2^2}{4} \], где \( \pi \approx 3.14\) и \(d_2 = 9\) мм \( = 0.009\) м.

Подставляя значения, получаем:

\(A = \frac{3.14 \cdot (0.009)^2}{4} \)

\(A = \frac{3.14 \cdot 0.000081}{4} \)

\(A \approx 0.00025434\) м\(^2\)

Теперь мы можем выразить время \(t\) из уравнения \( V = A \cdot t \):

\( t = \frac{V}{A} \)

Таким образом, время, необходимое для наполнения ведра объемом \(V\), будет равно \(\frac{V}{A}\) секунд.

Пожалуйста, укажите объем ведра, и я помогу вам рассчитать время, необходимое для его наполнения.