Какова собственная частота колебаний второго камертона после прикосновения молоточка к первому камертону, если скорость

Инна_6671

52

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для расчета собственной частоты колебаний колебательной системы. Формула имеет вид:

\[ f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

где:
\( f \) - собственная частота колебаний,
\( L \) - длина акустической трубы,
\( T \) - коэффициент тяготения,
\( \mu \) - масса воздушного столба в аккустической трубе.

Так как у нас есть два камертона, разберем их по отдельности.

Для первого камертона прикосновение молоточка вызывает колебание воздушного столба. Допустим, у нас длина акустической трубы равна \( L_1 \), и масса воздушного столба \( \mu_1 \).

\[ f_1 = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T_1}{\mu_1}} \]

Для второго камертона собственная частота будет определяться так же, но с другими параметрами. Пусть длина акустической трубы равна \( L_2 \), а масса воздушного столба \( \mu_2 \).

\[ f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T_2}{\mu_2}} \]

Из условия задачи нам дано, что скорость звука в воздухе составляет 340 м/с, что можно записать как:

\[ v = f \lambda \]

где
\( v \) - скорость звука,
\( \lambda \) - длина волны.

Обращаясь к формуле для длины волны, получим:

\[ \lambda = \frac{v}{f} \]

Длина волны в обоих случаях будет одинаковой, поэтому:

\[ \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T_1}{\mu_1}} = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T_2}{\mu_2}} \]

Теперь, приведем к общему знаменателю и упростим выражение:

\[ \sqrt{\frac{T_1}{\mu_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{\mu_2}} \cdot \frac{L_1}{L_2} \]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ \frac{T_1}{\mu_1} = \frac{T_2}{\mu_2} \cdot \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \]

Теперь, выразим отношение массы воздушного столба к коэффициенту тяготения в обоих случаях:

\[ \frac{T_1}{\mu_1} = \frac{v_1^2}{\mu_1} \quad \text{и} \quad \frac{T_2}{\mu_2} = \frac{v_2^2}{\mu_2} \]

Тогда, заменив в уравнении, получим:

\[ \frac{v_1^2}{\mu_1} = \frac{v_2^2}{\mu_2} \cdot \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \]

Теперь, выразим собственную частоту колебаний для второго камертона:

\[ f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T_2}{\mu_2}} \]

Из предыдущего равенства, можем выразить коэффициент тяготения для второго камертона:

\[ \frac{T_2}{\mu_2} = \frac{v_2^2}{\mu_2} = \frac{v_1^2}{\mu_1} \cdot \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \]

Теперь, подставим коэффициент тяготения в формулу для собственной частоты колебаний второго камертона:

\[ f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{v_1^2}{\mu_1} \cdot \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2} \]

Упростим выражение:

\[ f_2 = \frac{v_1}{2L_2} \cdot \frac{L_1}{L_2} \]

Тогда окончательный ответ будет:

\[ f_2 = \frac{v_1 \cdot L_1}{2L_2^2} \]

Теперь, нам нужно подставить числовые значения. Предположим, что длина первого камертона \( L_1 = 0.5 \) метра, а длина второго камертона \( L_2 = 0.8 \) метра.

С учетом скорости звука \( v_1 = 340 \) м/с, получим:

\[ f_2 = \frac{340 \cdot 0.5}{2 \cdot 0.8^2} \approx 106.25 \]

Ответ округляем до десятых:

\[ f_2 \approx 106.3 \]

Итак, собственная частота колебаний второго камертона после прикосновения молоточка к первому камертону составляет примерно 106.3 Гц.