Какова средняя квадратичная скорость молекул газа, если он расширяется изотермически от объема V1 до объема V2 = 2V1

Зимний_Сон_9567

14

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта для идеального газа. Он утверждает, что при изотермическом процессе (когда температура газа постоянна) произведение давления и объема газа остается постоянным.

Мы знаем, что работа расширения в процессе равна \(W = P \cdot \Delta V\), где \(W\) - работа расширения, \(P\) - давление газа, \(\Delta V\) - изменение объема газа.

В данной задаче у нас задана работа расширения \(W = 1 \, \text{кДж}\) и известно, что объем газа увеличился в два раза (\(V_2 = 2V_1\)). Мы хотим найти среднюю квадратичную скорость молекул газа.

Чтобы узнать давление газа, нам нужно использовать закон Бойля-Мариотта:

\[P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\]

где \(P_1\) и \(P_2\) - давления газа в начальном и конечном состоянии соответственно.

Мы можем переписать этот закон в следующем виде:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = \frac{{V_2}}{{V_1}}\]

Поскольку объем газа увеличивается в два раза, то \(\frac{{V_2}}{{V_1}} = 2\), и мы можем подставить это значение в нашу формулу:

\[\frac{{P_1}}{{P_2}} = 2\]

Теперь мы знаем, что \(P_1 = 2P_2\).

Так как у нас температура газа постоянна (изотермический процесс), то средняя квадратичная скорость молекул газа связана с давлением газа через следующую формулу:

\[v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}}\]

где \(v_{\text{ср}}\) - средняя квадратичная скорость молекул газа, \(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - температура газа, \(m\) - масса одной молекулы газа.

В нашем случае мы не знаем ни температуру газа, ни массу одной молекулы газа, поэтому нам нужно использовать другой физический закон - уравнение состояния идеального газа. Уравнение состояния идеального газа утверждает, что давление газа связано с его объемом и температурой через следующее уравнение:

\[PV = nRT\]

где \(P\) - давление газа, \(V\) - объем газа, \(n\) - количество вещества газа (в молях), \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа.

Из уравнения состояния идеального газа мы можем выразить давление газа (с помощью подстановки \(n = \frac{m}{\text{молярная масса}}\) и \(R = \text{постоянная Больцмана} \times \text{число Авогадро}\)):

\[P = \frac{{mRT}}{{\text{молярная масса} \times V}}\]

Теперь мы можем заменить это выражение для давления в формуле для средней квадратичной скорости молекул газа:

\[v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}} = \sqrt{\frac{{3k}}{{\text{молярная масса}}}} \cdot \sqrt{\frac{{RT}}{{V}}}\]

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно знать молярную массу газа. Давайте предположим, что это идеальный моноатомный газ (например, гелий). В этом случае молярная масса будет равна массе одной молекулы этого газа.

Подставим полученные значения и получим окончательный ответ:

\[v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23} \cdot T}}{{\text{молярная масса}}}} \cdot \sqrt{\frac{{8.31 \cdot T}}{{V}}}\]