Какова сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b2=-1 и b5=27/125?

Evgenyevna

54

Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам понадобится найти первый член прогрессии и знаменатель. Для этого у нас есть два условия: b2 = -1 и b5 = 27/125.

В первом условии у нас дано, что второй член последовательности равен -1, то есть \( b_2 = -1 \).

Во втором условии у нас дано, что пятый член последовательности равен 27/125, то есть \( b_5 = \frac{27}{125} \).

Пусть первый член последовательности будет обозначаться как "a" и знаменатель как "r". Тогда мы можем записать соответствующие уравнения:

\( a \cdot r = -1 \) - уравнение, использующее второй член
\( a \cdot r^4 = \frac{27}{125} \) - уравнение, использующее пятый член

Мы можем использовать первое уравнение, чтобы найти "a" и затем подставить его во второе уравнение. Решим эти уравнения пошагово.

1. Поделим оба уравнения, чтобы избавиться от "a":
\( \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r} = \frac{\frac{27}{125}}{-1} \)

2. Сократим "a" на обоих сторонах уравнения:
\( \frac{r^4}{r} = \frac{\frac{27}{125}}{-1} \)

3. Упростим правую сторону уравнения:
\( r^3 = \frac{27}{125} \cdot -1 \)

4. Решим уравнение для "r":
\( r^3 = \frac{-27}{125} \)

5. Найдем кубический корень от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от степени:
\( r = \sqrt[3]{\frac{-27}{125}} \)

6. Упростим корень:
\( r = -\frac{3}{5} \)

Теперь, когда мы нашли значение "r" (-3/5), мы можем подставить его в первое уравнение для нахождения значения "a".

7. Подставим "r" в первое уравнение:
\( a \cdot (-\frac{3}{5}) = -1 \)

8. Решим уравнение для "a":
\( a = \frac{-1}{-\frac{3}{5}} \)

9. Упростим дробь:
\( a = \frac{5}{3} \)

Таким образом, первый член последовательности (a) равен \( \frac{5}{3} \), а знаменатель (r) равен \( -\frac{3}{5} \).

Теперь мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

10. Подставим значения "a" и "r" в формулу:
\[ S = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{3}{5}} \]

11. Упростим дробь в знаменателе:
\[ S = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}} \]

12. Приведем дроби к общему знаменателю:
\[ S = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{8}{5}} \]

13. Разделим числитель на знаменатель:
\[ S = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{8} \]

14. Упростим дробь:
\[ S = \frac{25}{24} \]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( \frac{25}{24} \).