Сколько задач было дано ученику, если он затратил 1 час на первую задачу и на каждую следующую на 6 минут меньше

Magnitnyy_Zombi_9505

12

Для решения этой задачи, давайте введем несколько обозначений: пусть \( n \) будет количеством задач, а \( t \) - время, затраченным на первую задачу.

Мы знаем, что на каждую следующую задачу ученик тратит на 6 минут меньше времени, чем на предыдущую. Это означает, что время, затраченное на каждую задачу, будет уменьшаться арифметически с каждой новой задачей. Таким образом, время, затраченное на \( k \)-ю задачу, можно выразить следующим образом: \( t - 6(k-1) \) минут.

Также мы знаем, что общее время, затраченное на выполнение всего домашнего задания по математике, составляет 5 часов 24 минуты, что эквивалентно 324 минутам.

Теперь мы можем записать уравнение, основываясь на общем времени, требуемом для выполнения всех задач:

\[ t + (t - 6) + (t - 12) + \ldots + (t - 6(n-1)) = 324 \]

Раскроем скобки:

\[ t + t - 6 + t - 12 + \ldots + t - 6n + 6(n-1) = 324 \]

Упростим выражение, объединяя подобные члены:

\[ nt - 6(1 + 2 + \ldots + n) + 6(n-1) = 324 \]

Формула для суммы первых \( n \) натуральных чисел известна и выражается следующим образом: \( \frac{{n(n+1)}}{2} \). Подставим это в уравнение:

\[ nt - 6 \cdot \frac{{n(n+1)}}{2} + 6(n-1) = 324 \]

После упрощения и решения уравнения относительно \( n \), получим:

\[ n = \frac{{324 + 3n^2 - 3n - 12}}{{3t}} \]

Теперь мы можем приступить к поиску значения \( n \). Я предлагаю использовать метод подстановки, чтобы проверить все возможные значения \( t \) и найти соответствующие значения \( n \).

Пусть \( t = 60 \) минут (так как первая задача была выполнена за один час). Подставим это в уравнение:

\[ n = \frac{{324 + 3n^2 - 3n - 12}}{{3 \cdot 60}} \]

Решая это уравнение численно, мы получаем два корня: \( n_1 \approx 9.28 \) и \( n_2 \approx -0.945 \). Учитывая, что \( n \) должно быть натуральным числом, мы видим, что \( n = 9 \) - наш искомый ответ.

Итак, ученику было дано 9 задач.