Сколько задач было дано ученику, если он затратил 1 час на первую задачу и на каждую следующую на 6 минут меньше

Magnitnyy_Zombi_9505

12

Для решения этой задачи, давайте введем несколько обозначений: пусть $n$ будет количеством задач, а $t$ - время, затраченным на первую задачу.

Мы знаем, что на каждую следующую задачу ученик тратит на 6 минут меньше времени, чем на предыдущую. Это означает, что время, затраченное на каждую задачу, будет уменьшаться арифметически с каждой новой задачей. Таким образом, время, затраченное на $k$-ю задачу, можно выразить следующим образом: $t-6(k-1)$ минут.

Также мы знаем, что общее время, затраченное на выполнение всего домашнего задания по математике, составляет 5 часов 24 минуты, что эквивалентно 324 минутам.

Теперь мы можем записать уравнение, основываясь на общем времени, требуемом для выполнения всех задач:

$$t+(t-6)+(t-12)+\dots +(t-6(n-1))=324$$

Раскроем скобки:

$$t+t-6+t-12+\dots +t-6n+6(n-1)=324$$

Упростим выражение, объединяя подобные члены:

$$nt-6(1+2+\dots +n)+6(n-1)=324$$

Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел известна и выражается следующим образом: $\frac{n(n+1)}{2}$. Подставим это в уравнение:

$$nt-6\cdot \frac{n(n+1)}{2}+6(n-1)=324$$

После упрощения и решения уравнения относительно $n$, получим:

$$n=\frac{324+3n^2-3n-12}{3t}$$

Теперь мы можем приступить к поиску значения $n$. Я предлагаю использовать метод подстановки, чтобы проверить все возможные значения $t$ и найти соответствующие значения $n$.

Пусть $t=60$ минут (так как первая задача была выполнена за один час). Подставим это в уравнение:

$$n=\frac{324+3n^2-3n-12}{3\cdot 60}$$

Решая это уравнение численно, мы получаем два корня: $n_1\approx 9.28$ и $n_2\approx -0.945$. Учитывая, что $n$ должно быть натуральным числом, мы видим, что $n=9$ - наш искомый ответ.

Итак, ученику было дано 9 задач.