Какова сумма двух натуральных чисел, если одно из них больше другого на 2 и сумма квадратов этих чисел равна 452?

Moroznaya_Roza_7121

21

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть первое натуральное число будет обозначено как \(x\), а второе - как \(y\).

Условие задачи гласит, что одно число больше другого на 2, поэтому мы можем записать это в виде уравнения: \(x = y + 2\).

Также условие задачи говорит нам, что сумма квадратов этих чисел равна 452. Математически это может быть записано как: \(x^2 + y^2 = 452\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
x &= y + 2 \\
x^2 + y^2 &= 452
\end{align*}
\]

Можем решить эту систему уравнений, подставив выражение для \(x\) из первого уравнения во второе:

\[
(y + 2)^2 + y^2 = 452
\]

Возведем каждое слагаемое в квадрат:

\[
(y^2 + 4y + 4) + y^2 = 452
\]

Соберем слагаемые:

\[
2y^2 + 4y + 4 = 452
\]

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

\[
2y^2 + 4y + 4 - 452 = 0
\]

Упростим это уравнение:

\[
2y^2 + 4y - 448 = 0
\]

Разделим все коэффициенты на 2:

\[
y^2 + 2y - 224 = 0
\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -224\). Подставим значения в формулу:

\[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900
\]

Теперь найдем значения переменной \(y\) используя формулу:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставим значения в формулу:

\[
y = \frac{-2 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 30}{2} = \frac{28}{2} \text{ или } \frac{-32}{2}
\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(y\): \(y_1 = 14\) и \(y_2 = -16\).

Вернемся к первому уравнению и подставим каждое значение \(y\) для нахождения соответствующего значения \(x\):

Для \(y_1 = 14\):
\[
x = y + 2 = 14 + 2 = 16
\]

Для \(y_2 = -16\):
\[
x = y + 2 = -16 + 2 = -14
\]

Так как в условии было сказано, что числа являются натуральными, то отрицательное значение \(x\) не подходит. Ответом на задачу будет \(x = 16\) и \(y = 14\).

Таким образом, сумма двух натуральных чисел равна 30.

Проверим ответ:
\[
16^2 + 14^2 = 256 + 196 = 452
\]

Сумма квадратов чисел равна 452, что подтверждает правильность нашего ответа.