Какова сумма коэффициентов при разложении (x+1)^5?

Солнечный_Подрывник_3181

36

Когда нам дано выражение вида \((x+1)^n\), мы можем разложить его по биному Ньютона. Согласно этой формуле, коэффициенты при разложении можно найти с помощью комбинаторики.

Для данного случая, где \(n=5\) и у нас есть выражение \((x+1)^5\), мы можем использовать формулу бинома Ньютона для нахождения коэффициентов:

\[(x+1)^5 = \binom{5}{0}x^5\cdot1^0 + \binom{5}{1}x^4\cdot1^1 + \binom{5}{2}x^3\cdot1^2 + \binom{5}{3}x^2\cdot1^3 + \binom{5}{4}x^1\cdot1^4 + \binom{5}{5}x^0\cdot1^5\]

Теперь давайте вычислим каждый из этих коэффициентов.

\(\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1\)

\(\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5\)

\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10\)

\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10\)

\(\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5\)

\(\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} = 1\)


Теперь мы можем заменить значения в нашем разложении:

\((x+1)^5 = 1\cdot x^5\cdot 1^0 + 5\cdot x^4\cdot 1^1 + 10\cdot x^3\cdot 1^2 + 10\cdot x^2\cdot 1^3 + 5\cdot x^1\cdot 1^4 + 1\cdot x^0\cdot 1^5\)

Упростив каждое слагаемое, получаем:

\((x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\)

Таким образом, сумма коэффициентов при разложении \((x+1)^5\) равна 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32.

Итак, сумма коэффициентов при разложении \((x+1)^5\) равна 32.