Какова сумма неограниченно убывающей геометрической прогрессии, состоящей из следующих членов: 2; 4/5; 8/25; 16/125?

Drakon_2228

3

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В данной прогрессии первый член равен 2, а знаменатель между каждыми двумя последовательными членами убывает в 5 раз.

Чтобы найти сумму такой прогрессии, воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r},\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

В нашем случае, \(a = 2\) и \(r = \frac{1}{5}\), так как знаменатель каждый раз убывает в 5 раз. Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{2}{1 - \frac{1}{5}}.\]

Для удобства расчетов, приведем знаменатель к общему знаменателю:

\[S = \frac{2}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{4}{5}}.\]

Чтобы разделить числа, умножим дробь на обратную к ней:

\[S = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.\]

Таким образом, сумма данной неограниченно убывающей геометрической прогрессии равна \(\frac{5}{2}\) или 2.5.