Какова сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии, если пятый член равен 58, а двенадцатый член равен?

Рак

45

Спасибо за ваш вопрос! Давайте посмотрим, как мы можем решить данную задачу.

Дано, что пятый член арифметической прогрессии равен 58. Обозначим его как \(a_5 = 58\).

Также, известно, что двенадцатый член арифметической прогрессии равен \(a_{12}\). Нам не дано значение этого члена, поэтому обозначим его неизвестной переменной \(x\): \(a_{12} = x\).

Арифметическая прогрессия имеет общую разность \(d\), которая показывает, какое число нужно прибавить к предыдущему члену, чтобы получить следующий член.

Мы знаем, что \(a_5 = 58\). Это пятый член, поэтому мы можем выразить его через первый член и общую разность следующим образом:

\[a_5 = a_1 + 4d = 58.\]

Аналогично, для двенадцатого члена мы можем написать:

\[a_{12} = a_1 + 11d = x.\]

Теперь нам нужно найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через \(S_{20}\).

Способ найти \(S_{20}\) - использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

\[S_{n} = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),\]

где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

В нашем случае, имеем \(n = 20\), \(a_1\) это первый член арифметической прогрессии, а \(a_{20}\) - двадцатый член.

Мы должны найти сумму первых 20 членов, поэтому \(n = 20\).

Теперь, чтобы найти \(a_{20}\), мы можем использовать общую разность \(d\) и первый член \(a_1\):

\[a_{20} = a_1 + 19d.\]

Таким образом, у нас есть все необходимые сведения для решения задачи.

Для решения системы уравнений, содержащей \((a_1, d, x)\), можно применить метод подстановок.

\[
\begin{align*}
a_5 &= 58, \quad a_5 = a_1 + 4d, \\
a_{12} &= x, \quad a_{12} = a_1 + 11d.
\end{align*}
\]

Подставим \(a_1\) из первого уравнения во второе:

\(a_1 + 11d = x.\)

Теперь подставим \(a_1\) из первого уравнения в формулу для \(S_{20}\):

\(S_{20} = \frac{20}{2}(a_1 + a_{20}) = \frac{20}{2}(a_1 + a_1 + 19d).\)

Используя третье уравнение, запишем:

\(S_{20} = \frac{20}{2}(a_1 + a_1 + \frac{x - a_1}{11} \cdot 19) = \frac{20}{2}(2a_1 + (x - a_1) \cdot \frac{19}{11}).\)

Теперь нам нужно решить это уравнение для нахождения суммы первых двадцати членов арифметической прогрессии.

После простых вычислений получаем:

\(S_{20} = 20(a_1 + \frac{19}{11}x - \frac{1}{11}a_1) = \frac{20}{11}(19x + 9a_1).\)

Именно такую формулу можно использовать для расчета требуемой суммы. Остается только найти значения переменных \(a_1\) и \(x\). Если вы предоставите значения \(a_1\) и \(x\), я смогу вычислить сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии.