Какова сумма первых восьми членов арифметической прогрессии, равная сумме ее 11 первых членов? Найдите сумму первых

Strekoza

66

Для решения данной задачи, давайте разберемся, что такое арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему одной и той же фиксированной величины, называемой разностью прогрессии.

Предположим, что разность арифметической прогрессии равна \(d\), а первый член равен \(a_1\). Тогда, чтобы найти \(n\)-ый член прогрессии \(a_n\), мы можем использовать формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Итак, в данной задаче нам нужно найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, равную сумме ее 11 первых членов. Это означает, что сумма первых восьми членов равна сумме первых одиннадцати членов.

Давайте рассмотрим сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_n\). Сумма первых \(n\) членов можно выразить следующей формулой: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).

В данной задаче, мы должны найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, которая равна сумме ее 11 первых членов. Пусть \(S_8\) обозначает сумму первых восьми членов, и \(S_{11}\) обозначает сумму первых одиннадцати членов прогрессии.

Мы можем записать это в виде уравнения: \(S_8 = S_{11}\).

Используя формулу суммы первых \(n\) членов, мы получаем:
\(\frac{8}{2}(a_1 + a_8) = \frac{11}{2}(a_1 + a_{11})\).

Теперь нам известно, что разность арифметической прогрессии равна разности между ее 11-м и 8-м членами, то есть \(d = a_{11} - a_8\).

Мы можем переписать уравнение, используя это новое знание:
\(\frac{8}{2}(a_1 + a_8) = \frac{11}{2}(a_1 + a_8 + d)\).

Раскроем скобки:
\(4(a_1 + a_8) = 5(a_1 + a_8 + d)\).

Раскроем скобки:
\(4a_1 + 4a_8 = 5a_1 + 5a_8 + 5d\).

Теперь давайте сгруппируем все члены с \(a_i\):
\(4a_8 - 5a_8 = 5d - 4a_1 + a_1\).

После сокращения:
\(-a_8 = 5d - 3a_1\).

Теперь, когда мы выразили один из членов через другие, мы можем решить уравнение. Для этого нам понадобится больше информации. Нужно дополнительное условие, чтобы найти значения разности \(d\) и первого члена \(a_1\).