Какова сумма первых восьми членов геометрической прогрессии, где начальный член равен 1/8 и восьмой член равен

Zagadochnyy_Ubiyca

51

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{a \cdot (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии,
\(a\) - первый член геометрической прогрессии,
\(r\) - знаменатель прогрессии, а
\(n\) - количество членов прогрессии.

В данной задаче у нас даны первый член (\(a = \frac{1}{8}\)) и восьмой член (\(a_8\)). Нам нужно вычислить сумму первых восьми членов.

Первоначально нам нужно найти значение знаменателя прогрессии (\(r\)). Для этого используем формулу для \(a_n\), \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a \cdot r^{(n-1)}\]

Подставляем значения первого (\(a = \frac{1}{8}\)) и восьмого (\(a_8\)) членов:

\(\frac{1}{8} \cdot r^{(8-1)} = a_8\)

\(\frac{1}{8} \cdot r^7 = a_8\)

Теперь мы можем найти значение \(r\):

\(r^7 = 8 \cdot a_8\)

Далее мы можем найти сумму первых восьми членов, подставив полученные значения в формулу для \(S_n\):

\[S_8 = \frac{{\frac{1}{8} \cdot (1 - r^8)}}{{1 - r}}\]

Таким образом, чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, нам необходимо вычислить значение \(r\) из уравнения \(r^7 = 8 \cdot a_8\), а затем подставить найденное значение \(r\) в формулу \(S_8 = \frac{{\frac{1}{8} \cdot (1 - r^8)}}{{1 - r}}\).