Какова сумма всех натуральных чисел, кратных 11, от 101 до 999?

Скользкий_Барон

27

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 11, от 101 до 999, мы можем воспользоваться арифметической прогрессией. Напомним, что арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными элементами постоянна.

Для начала найдем первое и последнее число в данном диапазоне, которые кратны 11. Первое число будет 110 (11 * 10), а последнее - 990 (11 * 90). Обратите внимание, что мы находим первое число, кратное 11, больше или равное 101, и последнее число, кратное 11, меньше или равное 999.

Теперь, используя формулу для суммы элементов арифметической прогрессии, мы можем найти сумму всех чисел, кратных 11, в данном диапазоне. Формула для суммы \(S_n\) первых \(n\) элементов арифметической прогрессии имеет вид:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) элементов, \(a_1\) - первый элемент, \(a_n\) - последний элемент, и \(n\) - количество элементов.

В нашем случае первый элемент \(a_1 = 110\), последний элемент \(a_n = 990\), и количество элементов \(n = \frac{a_n - a_1}{11} + 1\), так как разность между элементами равна 11.

Подставим известные значения в формулу:

\[\frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{(\frac{a_n - a_1}{11} + 1)}{2}(a_1 + a_n)\]

\[\frac{(\frac{990 - 110}{11} + 1)}{2}(110 + 990) = 45 \times 1100 = 49500\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 11, от 101 до 999, равна 49500.