Какой угол образует график функции f(x) = x2 - 2x с осью абсцисс?

Lunnyy_Shaman

63

Чтобы найти угол, который образует график функции \( f(x) = x^2 - 2x \) с осью абсцисс, нам нужно определить места, где график пересекает ось абсцисс. Если график пересекает ось абсцисс только один раз, то угол будет равным 0 градусов. Если же график пересекает ось абсцисс два раза, то угол будет отличным от 0 градусов.

Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \). В данном случае, функция \( f(x) \) задана уравнением \( x^2 - 2x = 0 \).

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение. Я воспользуюсь вторым методом. Давайте представим уравнение в стандартной форме:

\[ x^2 - 2x = 0 \]

Теперь, вынесем общий множитель за скобки:

\[ x(x - 2) = 0 \]

Теперь у нас есть два возможных значения \( x \), которые могут сделать выражение равным нулю: \( x = 0 \) или \( x - 2 = 0 \). Решим каждое из этих уравнений:

1) Уравнение \( x = 0 \) даёт нам одну из точек пересечения графика с осью абсцисс: (0, 0).

2) Уравнение \( x - 2 = 0 \) дает нам вторую точку пересечения: (2, 0).

Теперь, чтобы найти угол между графиком функции и осью абсцисс, нам понадобится угол между прямой, проходящей через эти две точки, и осью абсцисс. Будем обозначать этот угол как \( \alpha \).

Чтобы найти этот угол, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В данном случае, мы имеем треугольник прямоугольной формы, где сторона, параллельная оси абсцисс, является катетом, а сторона, проходящая через эти две точки, является гипотенузой.

Вычислим тангенс угла \( \alpha \), используя соотношение:

\[ \tan(\alpha) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} \]

В данном случае, противолежащий катет - это высота треугольника, то есть расстояние между точкой (0, 0) и (2, 0), которое равно 2.

Прилежащий катет равен расстоянию по оси абсцисс между этими двумя точками, а это равно 2 (разница между x-координатами).

Таким образом:

\[ \tan(\alpha) = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь, чтобы найти значение угла \( \alpha \), нам нужно найти обратную функцию тангенса (\( \arctan \)) для значения 1. Используя калькулятор, мы получаем:

\[ \alpha \approx 45^\circ \]

Итак, угол, образуемый графиком функции \( f(x) = x^2 - 2x \) с осью абсцисс, равен приблизительно 45 градусов.