Какие значения m приводят к наличию ровно двух общих точек между графиком функции y=|x|(x+1)-5x и прямой y=m?

Бублик

25

Чтобы найти значения \(m\), при которых график функции \(y = |x|(x+1)-5x\) имеет ровно две общих точки с прямой \(y = m\), мы должны найти пересечение этих двух графиков. Для этого можно приравнять уравнение функции к уравнению прямой и решить полученное уравнение для \(x\).

Начнем с приравнивания уравнений:
\[|x|(x+1)-5x = m\]

Для удобства, мы можем разделить это уравнение на две части, в зависимости от значения абсолютного значения \(|x|\).

1. Когда \(x \geq 0\), мы можем записать уравнение как:
\[x(x+1)-5x = m\]

2. Когда \(x < 0\), мы можем записать уравнение как:
\[-x(x+1)-5x = m\]

Решим каждое из этих уравнений для \(x\) и найдем значения \(m\), для которых у нас будет две общие точки.

1. Когда \(x \geq 0\):
Раскрывая скобки, получаем:
\[x^2 + x - 5x = m\]
Упрощая:
\[x^2 - 4x = m\]
Переносим все члены уравнения влево:
\[x^2 - 4x - m = 0\]

Это квадратное уравнение. Чтобы имелось две общие точки с прямой, дискриминант этого уравнения должен быть положительным. То есть:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) > 0\]
\[16 + 4m > 0\]

Решаем неравенство:
\[4m > -16\]
\[m > -4\]

Таким образом, при \(m > -4\) уравнение \(y = |x|(x+1)-5x\) имеет ровно две общие точки с прямой \(y = m\), когда \(x \geq 0\).

2. Когда \(x < 0\):
Раскрывая скобки, получаем:
\[-x^2 - x - 5x = m\]
Упрощая:
\[-x^2 - 6x = m\]
Переносим все члены уравнения влево:
\[x^2 + 6x + m = 0\]

Опять же, дискриминант этого уравнения должен быть положительным, чтобы иметь две общие точки с прямой. Будем продолжать решение, используя теорему Виета.

Сумма корней квадратного уравнения равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

Из уравнения \(x^2 + 6x + m = 0\) имеем:
\[\text{Сумма корней} = -\frac{6}{1} = -6\]
\[\text{Произведение корней} = \frac{m}{1} = m\]

Для того, чтобы у нас было два корня (или две общие точки с прямой \(y = m\)), сумма корней должна быть положительной, а произведение - отрицательным. То есть:
\[\text{Сумма корней} > 0\]
\[\text{Произведение корней} < 0\]

Получаем систему неравенств:
\[-6 > 0 \quad \text{и} \quad m < 0\]

Ответ:
Значения \(m\), при которых уравнение \(y = |x|(x+1)-5x\) имеет ровно две общие точки с прямой \(y = m\), это \(m > -4\) для \(x \geq 0\) и \(m < 0\) для \(x < 0\).