Какова сумма всех значений m, при которых векторы а(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3) являются ортогональными?

Valentinovich

32

Чтобы найти сумму всех значений \(m\), при которых векторы \(a\) и \(b\) являются ортогональными, нам нужно установить условие ортогональности между ними.

Два вектора \(a\) и \(b\) являются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов \(u\) и \(v\) обозначается как \(\langle u, v \rangle\) и рассчитывается по формуле: \(\langle u, v \rangle = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3\).

Рассмотрим векторы \(a(m + 1, 1, -1)\) и \(b(m, -m, -2m + 3)\).

Скалярное произведение этих векторов будет:

\[
\langle a, b \rangle = (m + 1) \cdot m + 1 \cdot (-m) + (-1) \cdot (-2m + 3)
\]

Упростим это выражение:

\[
\langle a, b \rangle = m^2 + m - m - 2m + 3
\]

\[
\langle a, b \rangle = m^2 - 2m + 3
\]

Теперь, чтобы определить сумму всех значений \(m\), при которых векторы \(a\) и \(b\) являются ортогональными, мы должны приравнять скалярное произведение к нулю:

\[
m^2 - 2m + 3 = 0
\]

Это квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать квадратное уравнение \(m^2 + ax + b=0\) с использованием формулы дискриминанта:

\[
m = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -2\) и \(c = 3\). Подставив эти значения, мы можем найти два значения \(m\), при которых векторы \(a\) и \(b\) являются ортогональными.

Расчитаем значения \(m\):

\[
m = \frac{{-(-2) \pm \sqrt{{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
m = \frac{{2 \pm \sqrt{{4 - 12}}}}{{2}}
\]

\[
m = \frac{{2 \pm \sqrt{{-8}}}}{{2}}
\]

\[
m = \frac{{2 \pm 2i\sqrt{{2}}}}{{2}}
\]

Теперь у нас есть два значения \(m\), при которых векторы \(a\) и \(b\) являются ортогональными: \(m = 1 + i\sqrt{{2}}\) и \(m = 1 - i\sqrt{{2}}\).

Сумма всех значений \(m\) равна:

\[
(1 + i\sqrt{{2}}) + (1 - i\sqrt{{2}}) = 2
\]

Итак, сумма всех значений \(m\), при которых векторы \(a\) и \(b\) ортогональны, равна 2.