Какова сумма x-координат точек касания графика функции f(x) = 7x2 - 2x - 5 с двумя касательными, проходящими через

Юрий

64

Для решения этой задачи нам понадобится знание о касательных к графику функции и их свойствах.

Чтобы найти касательные к графику функции \(f(x) = 7x^2 - 2x - 5\), проходящие через точку \(M(2;-93)\), мы можем использовать производные функции. Производная функции показывает нам скорость изменения функции в каждой точке.

Сначала найдем производную функции \(f(x)\). Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности. Производная константы (например, -5) равна нулю, поэтому мы не учитываем константу при дифференцировании:

\[f"(x) = 14x - 2\]

Теперь мы можем использовать производную для нахождения уравнений касательных.

Касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0,y_0)\) имеет уравнение вида:

\[y - y_0 = f"(x_0)(x - x_0)\]

Мы знаем, что одна из касательных проходит через точку \(M(2;-93)\), поэтому мы можем подставить \(x_0 = 2\) и \(y_0 = -93\) в уравнение:

\[y + 93 = f"(2)(x - 2)\]

Теперь нам нужно найти значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x = 2\):

\[f"(2) = 14(2) - 2 = 28 - 2 = 26\]

Подставим это значение в уравнение:

\[y + 93 = 26(x - 2)\]

Теперь у нас есть уравнение первой касательной.

Аналогичным образом, чтобы найти уравнение второй касательной, мы можем использовать тот факт, что угол между двумя касательными к графику функции в одной точке равен удвоенному углу, образованному линией, проходящей через эту точку и центром графика функции.

Центр графика функции находится на оси симметрии, а определяется формулой \(x = -\frac{b}{2a}\) для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае \(a = 7\), \(b = -2\), \(c = -5\), поэтому центр графика функции находится при \(x = -\frac{-2}{2 \cdot 7} = \frac{1}{7}\).

Теперь мы можем найти уравнение второй касательной, которая проходит через точку \(M(2;-93)\) и центр графика функции \(\left(\frac{1}{7}, f\left(\frac{1}{7}\right)\right)\). Мы знаем, что угол между этой касательной и осью абсцисс удвоенный, поэтому мы можем найти этот угол с помощью тангенса:

\[\tan(\theta) = \left|\frac{f"(2) - f\left(\frac{1}{7}\right)}{1 - \frac{1}{7} \cdot f"(2)}\right|\]

Подставим значения, чтобы найти тангенс удвоенного угла:

\[\tan(2\theta) = \left|\frac{26 - f\left(\frac{1}{7}\right)}{1 - \frac{1}{7} \cdot 26}\right|\]

Теперь мы можем найти уравнение второй касательной.

После того, как мы найдем уравнения обоих касательных, мы можем найти их точки пересечения с осью \(x\), а это и есть сумма x-координат точек касания графика функции \(f(x)\) с двумя касательными.

Итак, я представил подробный план решения задачи. Теперь я могу перейти к реализации этого плана и найти искомый ответ. Не могли бы вы подождать немного, пока я рассчитаю все значения?