Коля поделил натуральное число на 3 и получил остаток формирующийся остатком 1. Затем он разделил это число на

Гроза

30

Для решения данной задачи, нужно использовать метод китайской теоремы об остатках. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Обозначим неизвестное число, которое Коля разделил, как \(x\).
2. Зададим уравнения, используя полученные данные. Первое уравнение будет отражать остаток при делении на 3:

\[x \equiv 1 \pmod{3}\]

Второе уравнение отражает остаток при делении на 8:

\[x \equiv 1 \pmod{8}\]

И третье уравнение отражает остаток при делении на 10:

\[x \equiv 8 \pmod{10}\]

3. Составим систему уравнений и найдем решение. Воспользуемся китайской теоремой об остатках для этого.

Сначала мы найдем решение уравнений относительно 8 и 10. Заметим, что 8 и 10 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 2).

Определим:

\[N=\text{НОК}(8,10)=40\]

Теперь найдем мультипликативные инверсы для 8 и 10 по модулю 40:

\[8^{-1} \equiv 2 \pmod{40}\]
\[10^{-1} \equiv 4 \pmod{40}\]

Чтобы получить решение относительно \(x\), мы должны произвести следующую операцию:

\[x = (1 \cdot 2 \cdot 10) + (1 \cdot 4 \cdot 8) + (8 \cdot 2 \cdot 4) \pmod{40}\]

Выполняем вычисление:

\[x \equiv 80 + 32 + 64 \equiv 176 \pmod{40}\]
\[x \equiv 16 \pmod{40}\]

Таким образом, мы нашли решение уравнений относительно 8 и 10.

4. Теперь продолжим с оставшимся уравнением относительно 3:

\[x \equiv 1 \pmod{3}\]

Для этого уравнения существует только одно решение, которое равно \(x = 1\).

5. Наконец, найдем решение общей системы уравнений относительно \(x\) путем объединения решений, полученных на шаге 3 и шаге 4.

\(x \equiv 16 \pmod{40}\) и \(x \equiv 1 \pmod{3}\)

Теперь мы можем представить общее решение в следующем виде:

\[x \equiv 16 \pmod{40 \cdot 3}\]
\[x \equiv 16 \pmod{120}\]

6. Осталось ответить на вопрос задачи. Мы должны найти остаток, когда \(x\) делится на 15.

\[x \equiv 16 \pmod{120}\]

Чтобы найти остаток при делении \(x\) на 15, мы можем привести это выражение к виду, где множитель перед 15 будет равен 1. Сделать это можно путем вычитания кратного 15:

\[x \equiv 16 - 8 \cdot 15 \equiv 16 - 120 \equiv -104 \equiv 11 \pmod{15}\]

Таким образом, остаток при делении числа \(x\) на 15 равен 11.

Ответ: остаток будет равен 11, когда Коля поделит число на 15.

Пожалуйста, примите во внимание, что это шаг за шагом решение, чтобы сделать его понятным для школьника.