Какова связь между временными интервалами и изменением физических величин, когда математический маятник отклоняется

Хрусталь

2

Когда математический маятник отклоняется от положения равновесия и отпускается, происходит колебательное движение. Это значит, что маятник будет периодически менять свое положение во времени. Изменение физических величин, таких как положение маятника, его скорость и ускорение, связано с временными интервалами между этими изменениями.

Сначала рассмотрим отклонение маятника от положения равновесия. Пусть \(x\) будет измеряемым отклонением маятника от положения равновесия в данный момент времени. Затем рассмотрим изменение этого отклонения во времени. Обозначим это изменение как \(v\), которое является скоростью маятника. И, наконец, рассмотрим изменение скорости маятника во времени, обозначенное как \(a\), которое является ускорением.

Математический маятник подчиняется закону Гука, который гласит, что ускорение маятника пропорционально его отклонению от положения равновесия и направлено противоположно этому отклонению. Данное соотношение можно записать следующим образом:

\[a = -\frac{g}{L}x\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно равно \(9.8 \, \text{м/с}^2\)), а \(L\) - длина маятника.

Таким образом, ускорение является функцией отклонения вида \(a(x) = -\frac{g}{L}x\).

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания математического маятника, можно записать как:

\[\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -\frac{g}{L}x\]

где \(\frac{{d^2x}}{{dt^2}}\) - вторая производная отклонения по времени.

Решение этого дифференциального уравнения дает возможность определить связь между временными интервалами и изменением физических величин. Решение имеет вид:

\[x(t) = A\cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}}t + \phi\right)\]

где \(A\) - амплитуда колебаний маятника, \(\phi\) - начальная фаза колебаний, а \(t\) - время.

Таким образом, мы видим, что положение маятника в любой момент времени \(t\) можно определить с помощью косинусной функции. При этом частота колебаний определяется выражением \(\sqrt{\frac{g}{L}}\). Таким образом, чем меньше длина маятника, тем больше будет частота колебаний, и наоборот.

Используя это решение, можем определить скорость и ускорение маятника в любой момент времени. Скорость определяется производной положения по времени:

\[v(t) = -A\sqrt{\frac{g}{L}}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{L}}t + \phi\right)\]

Ускорение определяется второй производной положения по времени:

\[a(t) = -A\frac{g}{L}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}}t + \phi\right)\]

Таким образом, мы можем определить связь между временными интервалами и изменением физических величин. Через временные интервалы мы можем определить положение, скорость и ускорение маятника в любой момент времени.