Какая температура приводит к одинаковым плотностям вероятности обнаружения молекул кислорода и воды, движущихся

Korova

21

Чтобы найти температуру, при которой плотности вероятности обнаружения молекул кислорода и воды будут одинаковыми, мы можем использовать распределение Максвелла-Больцмана для газов.

Распределение Максвелла-Больцмана описывает распределение скоростей частиц в газе при данной температуре. Формула для распределения Максвелла-Больцмана имеет вид:

\[f(v) = 4\pi\left(\dfrac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\dfrac{mv^2}{2kT}}\]

Где:
- \(f(v)\) - плотность вероятности обнаружения частицы со скоростью \(v\)
- \(m\) - масса частицы
- \(k\) - постоянная Больцмана
- \(T\) - температура газа
- \(e\) - основание натурального логарифма (приближенно равно 2.71828)

Для молекул кислорода и воды массы разные, но скорости одинаковые. Мы можем скомбинировать формулы для молекул кислорода и воды, чтобы числовые значения скорости сократились:

\[\dfrac{f_{O_2}(v)}{f_{H_2O}(v)} = \dfrac{4\pi\left(\dfrac{m_{O_2}}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\dfrac{m_{O_2}v^2}{2kT}}}{4\pi\left(\frac{m_{H_2O}}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{m_{H_2O} v^2}{2kT}}}\]

Теперь давайте преобразуем эту формулу, чтобы найти температуру \(T\), при которой \(\frac{f_{O_2}(v)}{f_{H_2O}(v)} = 1\):

\[\dfrac{f_{O_2}(v)}{f_{H_2O}(v)} = \dfrac{\left(\dfrac{m_{O_2}}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\dfrac{m_{O_2}v^2}{2kT}}}{\left(\frac{m_{H_2O}}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{m_{H_2O} v^2}{2kT}}} = 1\]

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить для \(T\). Однако этого нельзя сделать аналитически (с помощью простых алгебраических методов), поскольку уравнение содержит экспоненциальные функции.

Вместо этого, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы приближенно найти значение \(T\). Эти численные методы позволят нам найти корни уравнения \(T\) для данного соотношения плотностей вероятности.

Итак, чтобы найти температуру, при которой плотности вероятности обнаружения молекул кислорода и воды будут одинаковыми, нам нужно использовать численные методы для решения уравнения \(\frac{f_{O_2}(v)}{f_{H_2O}(v)} = 1\).