Какова температура гелия, если его молекулы имеют такую же среднеквадратичную скорость поступательного движения

Черепашка_Ниндзя

53

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу Кинетической теории газов, которая связывает среднеквадратичную скорость молекул газа с их температурой.

Формула Кинетической энергии (K.E.) для поступательного движения молекулы газа можно записать следующим образом:
\[K.E. = \frac{1}{2} m v^2\]
где \(m\) - масса молекулы газа, \(v\) - её скорость.

Среднеквадратичная скорость (\(v_{rms}\)) молекул газа связана с Кинетической энергией следующим образом:
\[v_{rms} = \sqrt{\frac{3 K.E.}{m}}\]

Теперь воспользуемся данной формулой и проведем несколько шагов.

1. Найдем массу молекулы кислорода (\(m_{O_2}\)). Молярная масса кислорода равна 32 г/моль, а так как мы имеем молекулу \(O_2\), то молярная масса такой молекулы будет равна 2 раза больше, то есть \(32 \times 2 = 64\) г/моль.

2. Масса одной молекулы газа (\(m\)) равна массе молекулы \(O_2\) разделенной на число Авогадро (\(N_A = 6.0221 \times 10^{23}\)):
\[m = \frac{64}{N_A}\]

3. Теперь мы знаем массу молекулы гелия (\(m_{He}\)), но нам также известно, что его среднеквадратичная скорость (\(v_{rms_{He}}\)) равна среднеквадратичной скорости молекул кислорода (\(v_{rms_{O_2}}\)) при заданной температуре:

\[v_{rms_{He}} = v_{rms_{O_2}}\]

\[v_{rms_{He}} = \sqrt{\frac{3 K.E_{He}}{m_{He}}} = \sqrt{\frac{3 K.E_{O_2}}{m_{O_2}}}\]

4. Осталось выразить температуру гелия (\(T_{He}\)) из полученной формулы. Для этого возведем обе части в квадрат:

\[\left(\sqrt{\frac{3 K.E_{He}}{m_{He}}}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{3 K.E_{O_2}}{m_{O_2}}}\right)^2\]

\[\frac{3 K.E_{He}}{m_{He}} = \frac{3 K.E_{O_2}}{m_{O_2}}\]

\[K.E_{He} = \frac{m_{He}}{m_{O_2}} \cdot K.E_{O_2}\]

Так как среднеквадратичная скорость связана с кинетической энергией следующим образом:
\[K.E = \frac{3}{2} kT\]

где \(k\) - постоянная Больцмана, а \(T\) - температура, можно записать:

\[\frac{3}{2} k T_{He} = \frac{m_{He}}{m_{O_2}} \cdot \frac{3}{2} k T_{O_2}\]

Постоянная Больцмана и \( \frac{3}{2} \) сократятся:

\[T_{He} = \frac{m_{He}}{m_{O_2}} \cdot T_{O_2}\]

5. Для вычисления значения температуры гелия (\(T_{He}\)), нам необходимо разделить массу молекулы гелия (\(m_{He}\)) на массу молекулы кислорода (\(m_{O_2}\)) и умножить на значение заданной температуры кислорода (\(T_{O_2}\)) при 500 градусах Цельсия:
\[T_{He} = \frac{m_{He}}{m_{O_2}} \cdot T_{O_2}\]

Подставим значения в формулу и рассчитаем температуру гелия:

\[T_{He} = \frac{4}{32} \cdot 500\]

\[T_{He} = \frac{1}{8} \cdot 500\]

\[T_{He} = 62.5\]

Таким образом, температура гелия равна 62.5 градусов Цельсия (°C).