Какова теплота, которую газ получил в процессе адиабатического расширения в 8 раз, а затем изотермического сжатия

Artemovich

9

Хорошо, давайте пошагово решим данную задачу.

1. Вначале определим, какие данные у нас есть. У нас есть информация о процессе адиабатического расширения газа в 8 раз, и о процессе изотермического сжатия до первоначального объема газа.

2. Для решения задачи нам понадобятся формулы, связанные с адиабатическим процессом и изотермическим процессом.

- Формула для работы, совершенной газом во время адиабатического процесса:
\[W_{ад} = \frac{{P_1V_1 - P_2V_2}}{{\gamma - 1}}\], где
\(W_{ад}\) - работа, совершенная газом,
\(P_1\) и \(V_1\) - начальное давление и объем газа,
\(P_2\) и \(V_2\) - конечное давление и объем газа,
\(\gamma\) - показатель адиабаты газа.

- Формула для работы, совершенной газом во время изотермического процесса:
\[W_{из} = P_{из}(V_1 - V_2)\], где
\(W_{из}\) - работа, совершенная газом,
\(P_{из}\) - константа давление газа во время изотермического процесса.

3. Теперь приступим к решению задачи. Пусть начальный объем газа \(V_1\) равен 1 единице.

4. В процессе адиабатического расширения газ увеличился в 8 раз, поэтому конечный объем будет равен \(V_2 = 8 \cdot V_1 = 8 \cdot 1 = 8\) единиц.

5. Далее, нам необходимо найти значения давлений \(P_1\) и \(P_2\) во время адиабатического процесса. Мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит: \(P_1 \cdot V_1^\gamma = P_2 \cdot V_2^\gamma\).

6. Поскольку у нас нет информации о показателе адиабаты газа \(\gamma\), предположим его равным 1.4, что является типичным значением для большинства двухатомных газов.

7. Используя закон Бойля-Мариотта и зная значение \(V_1\), \(V_2\) и \(\gamma\), мы можем выразить \(P_2\) через \(P_1\): \(\frac{{P_1}}{{P_2}} = \left(\frac{{V_2}}{{V_1}}\right)^\gamma\).

8. Подставляем известные значения и находим \(P_2\): \(\frac{{P_1}}{{P_2}} = \left(\frac{{8}}{{1}}\right)^{1.4}\), что примерно равно 5.278.

9. Теперь мы можем рассчитать работу, совершенную газом во время адиабатического процесса, используя формулу \(W_{ад}\). Подставляем известные значения и находим \(W_{ад}\):
\(W_{ад} = \frac{{P_1V_1 - P_2V_2}}{{\gamma - 1}} = \frac{{P_1 \cdot 1 - 5.278 \cdot 8}}{{1.4 - 1}}\), что примерно равно -37.276.

10. Далее, газ проходит процесс изотермического сжатия до своего первоначального объема. Мы знаем, что \(V_2 = V_1 = 1\).

11. Рассчитаем работу, совершенную газом во время изотермического процесса, используя формулу \(W_{из}\). Подставляем известные значения и находим \(W_{из}\):
\(W_{из} = P_{из}(V_1 - V_2) = P_{из}(1 - 1) = 0\).

12. Итак, чтобы найти теплоту, которую газ получил в обоих процессах, мы используем первый закон термодинамики, который гласит: \(\Delta U = Q - W\), где \(\Delta U\) - приращение внутренней энергии газа, \(Q\) - теплота, полученная газом, \(W\) - работа, совершенная газом.

13. В данном случае, у нас адиабатический процесс, поэтому \(\Delta U_{ад} = -W_{ад}\), и изотермический процесс, поэтому \(\Delta U_{из} = -W_{из}\).

14. Тогда для каждого процесса теплота будет равна \(Q_{ад} = \Delta U_{ад} - W_{ад}\) и \(Q_{из} = \Delta U_{из} - W_{из}\) соответственно.

15. Подставляем известные значения и находим значения теплоты:
- для адиабатического процесса: \(Q_{ад} = -(-W_{ад}) - W_{ад} = 0\),
- для изотермического процесса: \(Q_{из} = -(-W_{из}) - W_{из} = 0\).

16. В итоге, сумма теплот, которую газ получил в обоих процессах, равна: \(Q = Q_{ад} + Q_{из} = 0 + 0 = 0\).

Таким образом, теплота, которую газ получил в процессе адиабатического расширения в 8 раз, а затем изотермического сжатия до своего первоначального объема, равна 0.