Какова третья координата орта, указывающего направление, в котором функция u = 3^(x^(2)-y^(2)-z) убывает наиболее

Plamennyy_Demon

24

Чтобы найти третью координату орта, указывающего направление, в котором функция убывает наиболее быстро в заданной точке M(1, 2, z), нам нужно использовать градиент функции. Градиент функции показывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Однако, чтобы найти направление, в котором функция убывает наиболее быстро, нам нужно взять противоположное направление градиента.

Для начала, найдем градиент функции u = 3^(x^(2)-y^(2)-z). Градиент функции определяется как вектор, состоящий из частных производных функции по каждой переменной.

\(\nabla u\ = \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}, \frac{{\partial u}}{{\partial y}}, \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\right)\)

Давайте найдем эти частные производные:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2x \cdot 3^{x^2 - y^2 - z} \ln(3)\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -2y \cdot 3^{x^2 - y^2 - z} \ln(3)\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3^{x^2 - y^2 - z}\)

Теперь, подставим координаты точки M(1, 2, z) в эти выражения:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2 \cdot 1 \cdot 3^{1^2 - 2^2 - z} \ln(3) = 2 \cdot 3^{-3 - z} \ln(3) = \frac{{2 \ln(3)}}{{9 \cdot 3^z}}\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -2 \cdot 2 \cdot 3^{1^2 - 2^2 - z} \ln(3) = -4 \cdot 3^{-3 - z} \ln(3) = -\frac{{4 \ln(3)}}{{9 \cdot 3^z}}\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3^{1^2 - 2^2 - z} = -3^{-3-z} = -\frac{{1}}{{27 \cdot 3^z}}\)

Теперь мы можем записать градиент функции в точке M(1, 2, z):

\(\nabla u (1, 2, z) = \left(\frac{{2 \ln(3)}}{{9 \cdot 3^z}}, -\frac{{4 \ln(3)}}{{9 \cdot 3^z}}, -\frac{{1}}{{27 \cdot 3^z}}\right)\)

Направление наибольшего убывания функции будет противоположным направлению градиента. Поэтому, чтобы найти третью координату орта, указывающего направление убывания наиболее быстро, нам нужно противоположить знак третьей координаты вектора градиента.

Таким образом, третья координата орта, указывающего направление, в котором функция u = 3^(x^(2)-y^(2)-z) убывает наиболее быстро в точке M(1, 2, z), равна \(\frac{{1}}{{27 \cdot 3^z}}\) с противоположным знаком.