Какова величина циклической частоты незатухающих малых колебаний физического маятника в виде стержня, совершающего

Babochka

34

Для решения этой задачи нам необходимо использовать второй закон Ньютона для вращательного движения и уравнение колебательного движения.

Начнем с второго закона Ньютона: \(\tau = I\alpha\), где \(\tau\) - момент силы, \(I\) - момент инерции, \(\alpha\) - угловое ускорение.

Для физического маятника, момент инерции определяется как \(I = mL^2\), где \(m\) - масса маятника, \(L\) - длина стержня.

Момент силы, действующий на маятник, вызванный гравитационной силой, равен \(\tau = -mg\sin\theta\), где \(g\) - ускорение свободного падения, \(\theta\) - угол отклонения от вертикали.

Заменим исходное уравнение для угла отклонения \(\theta(t)\) на \(\theta(t) = Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t)\) для дальнейшего анализа.

Подставим \(\theta(t)\) в уравнение момента силы: \(-mg\sin(\theta(t)) = -mg\sin(Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t))\).

Учтем, что для малых углов отклонения \(\sin(\theta) \approx \theta\) и разложим функцию \(\cos(\frac{a}{4}t)\) в ряд Тейлора до первого члена: \(\sin(\theta(t)) \approx -mg(Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t))\).

Таким образом, угловое ускорение \(\alpha\) будет равно: \(\alpha = -\frac{g}{L}\theta(t)\), подставив в уравнение, получим:
\(\alpha = -\frac{g}{L}Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t)\).

Теперь, зная, что \(\alpha = \frac{d^2\theta(t)}{dt^2}\), выразим это уравнение второго порядка дифференциального уравнения: \(\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} = -\frac{g}{L}Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t)\).

Решим это дифференциальное уравнение, подразделяя его на два уравнения движения:
\(\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{L}Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t) = 0\).

Используя метод неопределенных коэффициентов, предположим, что решение можно записать в виде: \(\theta(t) = Ce^{\lambda t}\cos(\frac{a}{4}t) + De^{\lambda t}\sin(\frac{a}{4}t)\).

Теперь рассмотрим первое уравнение движения:
\(\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{L}Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t) = 0\).

Подставим предполагаемое решение в уравнение, продифференцируем и приравняем к нулю:
\(-(\lambda^2 + (\frac{a}{4})^2)Ce^{\lambda t}\cos(\frac{a}{4}t) - (\lambda^2 - (\frac{a}{4})^2)Ce^{\lambda t}\sin(\frac{a}{4}t) + \frac{g}{L}Ae^{-at}\cos(\frac{a}{4}t) = 0\).

Сгруппируем по экспонентам \(e^{\lambda t}\) и \(\cos(\frac{a}{4}t)\) и \(\sin(\frac{a}{4}t)\):
\(\left[ -(\lambda^2 + (\frac{a}{4})^2)C + \frac{g}{L}A \right] e^{\lambda t}\cos(\frac{a}{4}t) + \left[ - (\lambda^2 - (\frac{a}{4})^2)C \right] e^{\lambda t}\sin(\frac{a}{4}t) = 0\).

Таким образом, получаем систему уравнений:
\(\begin{cases} -(\lambda^2 + (\frac{a}{4})^2)C + \frac{g}{L}A = 0 \\ - (\lambda^2 - (\frac{a}{4})^2)C = 0 \end{cases}\).

Первое уравнение позволяет найти значение \(\lambda\):
\(\lambda^2 + (\frac{a}{4})^2 = \frac{g}{LA}\).

Второе уравнение позволяет найти значение \(C\):
\(\lambda^2 - (\frac{a}{4})^2 = 0\).

Решим второе уравнение для \(C\):
\(\lambda^2 = (\frac{a}{4})^2 \Rightarrow \lambda = \pm\frac{a}{4}\).

Подставим значение \(\lambda\) в первое уравнение:
\(\left(\frac{a}{4}\right)^2 + (\frac{a}{4})^2 = \frac{g}{LA} \Rightarrow \frac{1}{8}a^2 = \frac{g}{LA}\).

Из данного уравнения можно выразить циклическую частоту незатухающих колебаний маятника:
\(\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\).

Таким образом, величина циклической частоты незатухающих малых колебаний физического маятника составляет \(\sqrt{\frac{g}{L}}\).
Исходя из уравнения, данная величина не зависит от амплитуды колебаний и коэффициента затухания \(a\).