Какова величина дисперсии среднего значения 10 независимых случайных величин в форме распределения Бернулли?

Сладкий_Ангел

67

Для решения данной задачи нужно знать, что распределение Бернулли определяет случайную величину, которая может принимать только два значения: 0 или 1, с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(1-p\).

Рассмотрим случай, когда у нас имеется 10 независимых случайных величин в форме распределения Бернулли. Для простоты обозначим эти величины как \(X_1, X_2, \ldots, X_{10}\), где каждая случайная величина \(X_i\) может принимать значения 0 или 1.

Среднее значение (математическое ожидание) этих случайных величин равно:
\[
\mu = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_{10}}{10}
\]

Теперь нам нужно вычислить дисперсию среднего значения. Дисперсия определяет меру разброса случайной величины относительно ее среднего значения.

Дисперсия среднего значения \(X_i\) находится по формуле:
\[
\sigma^2 = \frac{\text{дисперсия}(X_1 + X_2 + \ldots + X_{10})}{10^2}
\]

Так как случайные величины \(X_1, X_2, \ldots, X_{10}\) независимы между собой, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:
\[
\text{дисперсия}(X_1 + X_2 + \ldots + X_{10}) = \text{дисперсия}(X_1) + \text{дисперсия}(X_2) + \ldots + \text{дисперсия}(X_{10})
\]

Для распределения Бернулли дисперсия равна \(p(1-p)\), поэтому дисперсия каждой случайной величины равна \(p(1-p)\).

Итак, дисперсия суммы \(X_1 + X_2 + \ldots + X_{10}\) будет равна:
\[
\text{дисперсия}(X_1 + X_2 + \ldots + X_{10}) = 10 \cdot p(1-p)
\]

Но нам нужно найти дисперсию среднего значения, поэтому делим получившуюся дисперсию на квадрат количества случайных величин, то есть на \(10^2\):
\[
\text{дисперсия среднего значения} = \frac{\text{дисперсия}(X_1 + X_2 + \ldots + X_{10})}{10^2} = \frac{10 \cdot p(1-p)}{10^2}
\]

Таким образом, величина дисперсии среднего значения 10 независимых случайных величин в форме распределения Бернулли равна \(\frac{p(1-p)}{10}\).