Каково значение разности в арифметической прогрессии, если сумма утроенных второго и четвёртого членов равна

Инна

10

Давайте решим эту задачу! Для начала, вспомним формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, а \(n\) - количество членов.

По условию задачи, сумма утроенных второго и четвёртого членов равна 12, то есть:

\(3a_2 + 3a_4 = 12\)

Также нам дано, что нужно найти значение разности, при котором произведение третьего и пятого членов будет минимальным. Обозначим третий член как \(a_3\) и пятый член как \(a_5\). Нам нужно найти такое значение для разности \(d\), чтобы произведение \(a_3 \cdot a_5\) было минимальным.

Теперь давайте приступим к решению.

1. Решим первое уравнение:
\(3a_2 + 3a_4 = 12\).

Мы знаем, что арифметическая прогрессия задается первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Заметим, что \(a_4 = a_1 + 3d\) и \(a_2 = a_1 + d\). Подставляем это в уравнение:

\(3(a_1 + d) + 3(a_1 + 3d) = 12\).

Раскрываем скобки и сокращаем:

\(3a_1 + 3d + 3a_1 + 9d = 12\).

4. Собираем члены с \(a_1\) и с \(d\) вместе:

\(6a_1 + 12d = 12\).

2. Теперь решим второе уравнение:
\(a_3 \cdot a_5\) должно быть минимальным.

Мы знаем, что \(a_3 = a_1 + 2d\) и \(a_5 = a_1 + 4d\). Подставляем это в уравнение:

\(a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 4d)\).

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\).

Теперь нам нужно найти такой \(d\), при котором произведение \(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\) будет минимальным.

Для нахождения минимального значения произведения, можно воспользоваться свойствами квадратного трехчлена. У квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) минимальное значение равно \(\frac{{4ac - b^2}}{4a}\).

В нашем случае, коэффициенты у нашего квадратного трехчлена равны: \(a = 8\), \(b = 6a_1\) (здесь мы подставляем значение \(b = 6a_1d\)), \(c = a_1^2\).

Таким образом, минимальное значение произведения будет:

\(\frac{{4 \cdot 8 \cdot a_1^2 - (6a_1)^2}}{4 \cdot 8}\).

Упрощаем:

\(\frac{{32a_1^2 - 36a_1^2}}{32}\).

\(\frac{{-4a_1^2}}{32}\).

Финальный шаг. Решаем \(-4a_1^2 \geq 0\).

Так как у нас ищется минимальное значение, то необходимо взять разность, при которой \(a_1 = 0\), тогда \(-4 \cdot 0^2 = 0\). Следовательно, \(d = 0\).

Таким образом, значение разности \(d\) должно быть равно 0, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным в данной арифметической прогрессии.

Думаю, сейчас все стало понятным.