Какова величина перемещения объекта и путь, пройденный им за полтора периода колебаний, если амплитуда механических

Sergeevich

46

Перед тем как решить эту задачу, давайте рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с механическими колебаниями.

Период колебания - это время, за которое объект совершает одно полное колебание. Обозначим его как \(T\).

Амплитуда колебаний - это максимальное отклонение объекта от положения равновесия. Обозначим ее как \(A\).

Теперь приступим к решению задачи.

У нас дано, что амплитуда колебаний равна 87 см, а колебания начинаются из положения крайнего отклонения от равновесия.

Период колебаний зависит от физических характеристик системы и может быть вычислен с использованием формулы:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(m\) - масса объекта, а \(k\) - коэффициент упругости пружины (или другой системы). Однако, поскольку в задаче не указаны эти значения, мы не можем вычислить точный период колебаний.

Но нам дано, что объект проходит полтора периода колебаний. То есть, нам нужно найти перемещение объекта и путь, пройденный им за полтора периода.

Перемещение объекта в механических колебаниях можно выразить формулой:

\[x = A\cos(\omega t + \phi)\]

где \(x\) - перемещение объекта в любой момент времени \(t\), \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота, а \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Угловая частота может быть выражена через период колебаний следующим образом:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

По условию задачи, колебания начинаются из положения крайнего отклонения от равновесия, так что фаза \(\phi\) будет равна нулю.

Теперь найдем перемещение и путь, пройденный объектом за полтора периода колебаний.

Период колебаний, как мы уже знаем, равен \(T\). Полтора периода составляют \(1.5T\).

Выразим перемещение объекта в момент времени \(t = 1.5T\):

\[x = A\cos(\omega \cdot 1.5T + \phi)\]

Подставим значение угловой частоты \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) и фазы \(\phi = 0\):

\[x = A\cos(\frac{2\pi}{T} \cdot 1.5T + 0)\]

Упростим выражение:

\[x = A\cos(3\pi)\]

Заметим, что \(\cos(3\pi) = -1\), поэтому получаем:

\[x = -A\]

Таким образом, перемещение объекта за полтора периода колебаний равно противоположной амплитуде колебаний, то есть \(-87\) см.

Чтобы найти путь, пройденный объектом, мы должны взять модуль этого перемещения:

\[|x| = |-A| = 87 \, \text{см}\]

Таким образом, путь, пройденный объектом за полтора периода колебаний, равен 87 см, а модуль перемещения объекта равен 87 см.