Какова величина перемещения объекта и путь, пройденный им за полтора периода колебаний, если амплитуда механических

Sergeevich

46

Перед тем как решить эту задачу, давайте рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с механическими колебаниями.

Период колебания - это время, за которое объект совершает одно полное колебание. Обозначим его как $T$.

Амплитуда колебаний - это максимальное отклонение объекта от положения равновесия. Обозначим ее как $A$.

Теперь приступим к решению задачи.

У нас дано, что амплитуда колебаний равна 87 см, а колебания начинаются из положения крайнего отклонения от равновесия.

Период колебаний зависит от физических характеристик системы и может быть вычислен с использованием формулы:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

где $m$ - масса объекта, а $k$ - коэффициент упругости пружины (или другой системы). Однако, поскольку в задаче не указаны эти значения, мы не можем вычислить точный период колебаний.

Но нам дано, что объект проходит полтора периода колебаний. То есть, нам нужно найти перемещение объекта и путь, пройденный им за полтора периода.

Перемещение объекта в механических колебаниях можно выразить формулой:

$$x=A\cos (\omega t+\varphi )$$

где $x$ - перемещение объекта в любой момент времени $t$, $A$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - угловая частота, а $\varphi$ - начальная фаза колебаний.

Угловая частота может быть выражена через период колебаний следующим образом:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

По условию задачи, колебания начинаются из положения крайнего отклонения от равновесия, так что фаза $\varphi$ будет равна нулю.

Теперь найдем перемещение и путь, пройденный объектом за полтора периода колебаний.

Период колебаний, как мы уже знаем, равен $T$. Полтора периода составляют $1.5T$.

Выразим перемещение объекта в момент времени $t=1.5T$:

$$x=A\cos (\omega \cdot 1.5T+\varphi )$$

Подставим значение угловой частоты $\omega =\frac{2\pi }{T}$ и фазы $\varphi =0$:

$$x=A\cos (\frac{2\pi }{T}\cdot 1.5T+0)$$

Упростим выражение:

$$x=A\cos (3\pi )$$

Заметим, что $\cos (3\pi )=-1$, поэтому получаем:

$$x=-A$$

Таким образом, перемещение объекта за полтора периода колебаний равно противоположной амплитуде колебаний, то есть $-87$ см.

Чтобы найти путь, пройденный объектом, мы должны взять модуль этого перемещения:

$$|x|=|-A|=87\text{см}$$

Таким образом, путь, пройденный объектом за полтора периода колебаний, равен 87 см, а модуль перемещения объекта равен 87 см.