Яка висота конуса, утвореного обертанням прямокутного трикутника з гіпотенузою 10 см і одним з катетів 8 см навколо

Рыжик

45

Чтобы найти высоту конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника, нужно использовать теорему Пифагора и формулу объема конуса.

Дана гипотенуза треугольника \(c = 10\) см и один из катетов \(a = 8\) см. Находим второй катет, используя теорему Пифагора:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\]

Теперь находим объем конуса, используя формулу \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - его высота.

Радиус основания конуса - это половина длины меньшего катета, то есть \(r = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.

Подставляем значения в формулу объема и находим высоту конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot h = \frac{16}{3} \pi \cdot h\]

Объем конуса также можно выразить через площадь основания \(S\) и высоту конуса:

\[V = \frac{1}{3} S \cdot h\]

Площадь основания конуса - это площадь прямоугольного треугольника, то есть \(S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) см².

Подставляем значения и получаем уравнение:

\[\frac{1}{3} \cdot 24 \cdot h = \frac{16}{3} \pi \cdot h\]

Теперь можно сократить общий множитель \(\frac{1}{3} h\) и получить уравнение:

\[8 = 16 \pi \cdot h\]

Делим оба выражения на \(16 \pi\) и находим значение высоты:

\[h = \frac{8}{16 \pi} \approx 0.159 \, \text{см}\]

Таким образом, высота конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника, составляет около 0.159 см.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.