Какова вероятность, что при случайном выборе карточки из коробки, на ней будет записано число, которое: 1) делится

Сверкающий_Джентльмен

66

на 4; 3) является четным числом.

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики и арифметики.

1) Вероятность, что записанное на карточке число будет делиться на 5 без остатка. В коробке находятся числа от 1 до 100 (включительно), и чтобы найти количество чисел, делящихся на 5 без остатка, нам нужно поделить диапазон на 5. Получаем: \(\frac{100}{5} = 20\). Таким образом, в коробке есть 20 чисел, делящихся на 5 без остатка.

Количество всего возможных чисел в коробке равно 100, поскольку коробка содержит числа от 1 до 100 (включительно).

Тогда вероятность выбрать число, которое делится на 5 без остатка, будет равна: \(\frac{20}{100} = \frac{1}{5}\).

2) Вероятность, что число не будет делиться ни на 3, ни на 4. Для этого нам необходимо найти числа, которые не делятся ни на 3, ни на 4, в пределах от 1 до 100.

Сначала найдем количество чисел, делящихся на 3. Для этого можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии: \(n = \frac{{a_1 + a_n}}{2} \cdot \frac{n}{d}\), где \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(a_n\) - последний элемент прогрессии, \(n\) - количество элементов прогрессии, \(d\) - шаг прогрессии.

Первый элемент прогрессии равен 3, последний элемент равен 99 (так как 100 не включается), а шаг прогрессии равен 3. Тогда получаем: \(n_{\text{делящиеся на 3}} = \frac{{3 + 99}}{2} \cdot \frac{33}{3} = 51\).

Теперь найдем количество чисел, делящихся на 4. Аналогично, первый элемент прогрессии равен 4, последний элемент равен 96 (так как 100 не включается), а шаг прогрессии равен 4. Получаем: \(n_{\text{делящиеся на 4}} = \frac{{4 + 96}}{2} \cdot \frac{24}{4} = 50\).

Теперь нам нужно найти числа, которые не делятся ни на 3, ни на 4. Для этого вычитаем из общего количества чисел количество чисел, делящихся на 3 или 4. Получаем: \(100 - (51 + 50) = -1\). В данном случае получили отрицательное число, что невозможно. Значит, в коробке обязательно есть числа, которые делятся и на 3, и на 4.

Вероятность выбрать число, которое не делится ни на 3, ни на 4, в данном случае будет равна нулю.

3) Вероятность, что число является четным. Четные числа образуют арифметическую прогрессию с шагом 2. Первое четное число в прогрессии равно 2, последнее - 100. Снова используя формулу суммы арифметической прогрессии, найдем количество четных чисел: \(n_{\text{четные}} = \frac{{2 + 100}}{2} \cdot \frac{50}{2} = 50\).

Вероятность выбрать четное число будет равна: \(\frac{50}{100} = \frac{1}{2}\).

Итак, мы решали задачу, разбив ее на три части:
1) Вероятность выбрать число, которое делится на 5 без остатка: \(\frac{1}{5}\).
2) Вероятность выбрать число, которое не делится ни на 3, ни на 4: 0 (ноль).
3) Вероятность выбрать четное число: \(\frac{1}{2}\).