Какова вероятность, что за день поломается 7 автобусов из 10, если для каждого автобуса вероятность поломки составляет

Софья

38

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать Биномиальное распределение вероятностей. Данное распределение применяется для моделирования ситуаций, где есть только два возможных исхода (в данном случае - сломается автобус или не сломается), и вероятность каждого исхода не меняется с течением времени.

В данной задаче мы ищем вероятность того, что из 10 автобусов ровно 7 поломаются за день. Для этого мы будем использовать формулу для Биномиального распределения:

\[P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(P(X=k)\) - вероятность того, что произойдет ровно \(k\) успехов (в нашем случае, поломка автобуса), \(n\) - общее количество испытаний (автобусов), \(p\) - вероятность успеха (поломки автобуса), \(k\) - количество успехов (автобусов, которые сломаются), а \(C(n, k)\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\), которое вычисляется по формуле:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашей задаче, \(n = 10\), \(k = 7\), и \(p = 0.3\).

Теперь, подставим эти значения в нашу формулу и вычислим вероятность:

\[P(X=7) = C(10, 7) \cdot 0.3^7 \cdot (1-0.3)^{10-7}\]

\[P(X=7) = \frac{10!}{7!(10-7)!} \cdot 0.3^7 \cdot (1-0.3)^{10-7}\]

Вычислим значение этого выражения:

\[P(X=7) = \frac{10!}{7!(10-7)!} \cdot 0.3^7 \cdot 0.7^3\]

\[P(X=7) = \frac{10!}{7!3!} \cdot 0.3^7 \cdot 0.7^3\]

Здесь символ "!" обозначает факториал. Факториал числа - это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа. Например, \(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Вычислим значения факториалов:

\[
\begin{align*}
10! &= 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3,628,800\\
7! &= 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5,040\\
3! &= 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
\end{align*}
\]

Теперь, подставим значения в нашу формулу:

\[
P(X=7) = \frac{10!}{7!3!} \cdot 0.3^7 \cdot 0.7^3 = \frac{3,628,800}{5,040 \cdot 6} \cdot 0.3^7 \cdot 0.7^3
\]

Вычислим числитель и знаменатель:

\[
\frac{3,628,800}{5,040 \cdot 6} = 7,800
\]

Теперь, упростим формулу:

\[
P(X=7) = 7,800 \cdot 0.3^7 \cdot 0.7^3
\]

Вычислим значение для \(0.3^7\):

\[
0.3^7 = 0.0002187
\]

Вычислим значение для \(0.7^3\):

\[
0.7^3 = 0.343
\]

Окончательно, вычислим вероятность:

\[
P(X=7) = 7,800 \cdot 0.0002187 \cdot 0.343
\]

\[
P(X=7) \approx 7,800 \cdot 0.000075051 \approx 0.586
\]

Поэтому, вероятность того, что за день поломается ровно 7 автобусов из 10, составляет примерно 0.586 или 58.6%.