Какова вероятность, что за год в гирлянде перегорит только одна или две лампочки?

Маруся

21

Чтобы определить вероятность того, что за год в гирлянде перегорит только одна или две лампочки, нам необходимо знать несколько факторов. Предположим, что в гирлянде есть общее количество лампочек \(n\) и что вероятность перегорания каждой лампочки одинакова и равна \(p\).

Давайте рассмотрим различные варианты, когда может перегореть только одна или две лампочки.

1. Первая возможность — только одна лампочка перегорит. Вероятность того, что выбранная лампочка перегорит, равна \(p\), а вероятность того, что остальные \(n-1\) лампочек останутся работающими, равна \((1-p)^{(n-1)}\). Так как может быть много способов выбрать одну лампочку из всех \(n\) лампочек, умножим эти две вероятности. Таким образом, вероятность перегорания только одной лампочки составляет:
\[P_1 = n \cdot p \cdot (1-p)^{(n-1)}\]

2. Вторая возможность — ровно две лампочки перегорят. Чтобы рассчитать данную вероятность, мы должны выбрать две лампочки из всех \(n\) лампочек. Это можно сделать с помощью сочетания из \(n\) по 2:
\[{n \choose 2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}\]

Вероятность того, что обе выбранные лампочки перегорят, равна \(p^2\), а вероятность того, что остальные \(n-2\) лампочек останутся работающими, равна \((1-p)^{(n-2)}\). Умножим все эти вероятности вместе и получим вероятность того, что ровно две лампочки перегорят:
\[P_2 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{(n-2)}\]

Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что за год в гирлянде перегорит только одна или две лампочки, мы суммируем вероятности из двух возможностей:
\[P = P_1 + P_2\]

Это и есть ответ на задачу. Вы можете использовать данную формулу для расчета вероятности в конкретной ситуации, указав значение \(n\) (количество лампочек) и \(p\) (вероятность перегорания одной лампочки).