Каково значение выражения 9-2√3ctgx, если sinx = √3/2?

Marusya

61

Конечно! Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

У нас дано, что \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Давайте воспользуемся известной тригонометрической формулой \(1 + \text{{ctg}}^2 x = \text{{cosec}}^2 x\), чтобы найти значение \(\text{{ctg}} x\). Для этого найдем значение \(\text{{cosec}} x\).

Так как \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то вспомним определение \(\text{{cosec}} x\) – это обратное значение \(\sin x\). Таким образом, \(\text{{cosec}} x = \frac{1}{\sin x}\).

Подставим значение \(\sin x\) в формулу: \(\text{{cosec}} x = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Для удобства деления на дробь, мы можем умножить исходное значение на единицу в форме \(\frac{2}{2}\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе.

Теперь получаем: \(\text{{cosec}} x = \frac{2}{\sqrt{3}}\).

Используя те же идеи, мы можем выразить \(\text{{ctg}} x\) через \(\cos x\) и \(\sin x\), так как \(\text{{ctg}} x = \frac{\cos x}{\sin x}\).

Известно, что \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Давайте найдем значение \(\cos x\). Для этого воспользуемся формулой Пифагора: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Подставляем значение \(\sin x\): \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 x = 1\).

Упрощаем выражение: \(\frac{3}{4} + \cos^2 x = 1\).

Получаем: \(\cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}\).

Вычисляем: \(\cos^2 x = \frac{1}{4}\).

Возьмем квадратный корень от обеих частей: \(\cos x = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем найти \(\text{{ctg}} x\), используя формулу: \(\text{{ctg}} x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Сокращаем выражение: \(\text{{ctg}} x = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь у нас есть значение \(\text{{ctg}} x\). Для нахождения значения выражения \(9 - 2\sqrt{3}\text{{ctg}} x\), подставим полученное значение \(\text{{ctg}} x\) вместо \(\text{{ctg}} x\):

\(9 - 2\sqrt{3}\text{{ctg}} x = 9 - 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Cокращаем выражение: \(9 - 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 9 - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\).

Далее, упрощаем умножение: \(9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6\).

И, наконец, получаем окончательный ответ: \(9 - 6 = 3\).

Таким образом, значение выражения \(9 - 2\sqrt{3}\text{{ctg}} x\) равно 3.