Какова вероятность достичь суммы более 9 выкидыванием игральной кости? Сколько бросков понадобилось для этого?

Ledyanaya_Dusha

16

Для решения этой задачи посчитаем все возможные исходы, которые дают сумму более 9 при бросании игральной кости.

Игральная кость имеет 6 граней, соответствующих числам от 1 до 6. Чтобы получить сумму более 9, можно выбрать следующие исходы:
10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
11: (5, 6), (6, 5)
12: (6, 6)

Всего у нас есть 11 возможных комбинаций, которые дают сумму более 9.

Теперь посчитаем общее количество возможных исходов, которое можно получить при бросании игральной кости. У нас есть 6 граней, поэтому общее число исходов равно 6.

Теперь мы можем вычислить вероятность достичь суммы более 9. Вероятность события вычисляется делением числа благоприятных исходов на общее число исходов.

\[P(\text{{сумма}} > 9) = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число исходов}}}} = \frac{{11}}{{6}} \approx 1.833\]

Следовательно, вероятность достичь суммы более 9 при бросании игральной кости составляет около 1.833 или примерно 183.3%.

Теперь давайте посчитаем, сколько бросков понадобилось для достижения суммы более 9. Чтобы это сделать, продолжим бросать игральную кость до тех пор, пока не достигнем суммы больше 9.

Пусть \(X\) - это случайная величина, представляющая число бросков, необходимых для достижения суммы более 9. Вероятность успеха в каждом броске равна 1.833.

Мы можем представить это в виде геометрического распределения, где

\[P(X = n) = (1 - P(\text{{сумма}} > 9))^{n-1} \cdot P(\text{{сумма}} > 9)\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность для каждого \(n\) и найти среднее количество бросков, необходимых для достижения суммы более 9:

\[P(X = 1) = (1 - P(\text{{сумма}} > 9))^{1-1} \cdot P(\text{{сумма}} > 9) = 1.833\]
\[P(X = 2) = (1 - P(\text{{сумма}} > 9))^{2-1} \cdot P(\text{{сумма}} > 9) = 0.166\]
\[P(X = 3) = (1 - P(\text{{сумма}} > 9))^{3-1} \cdot P(\text{{сумма}} > 9) = 0.015\]
\[P(X = 4) = (1 - P(\text{{сумма}} > 9))^{4-1} \cdot P(\text{{сумма}} > 9) = 0.001\]

Итак, среднее количество бросков, необходимых для достижения суммы более 9, можно вычислить, умножив каждое количество бросков на соответствующую вероятность и сложив результаты:

\[\text{{Среднее количество бросков}} = 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) = 1.833 + 0.332 + 0.045 + 0.004 = 2.214\]

Таким образом, в среднем для достижения суммы более 9 понадобится около 2.214 бросков игральной кости.