Какова вероятность получить 3 положительные ошибки из 5 взвешиваний?

Dimon

55

Чтобы решить данную задачу, нам сначала необходимо определить вероятность получить одну положительную ошибку в одном взвешивании. Для этого нужно знать, какова вероятность получить положительную ошибку и вероятность получить отрицательную ошибку.

Пусть вероятность получить положительную ошибку в одном взвешивании равна \(p\), а вероятность получить отрицательную ошибку равна \(q\). Заметим, что эти две вероятности должны в сумме давать единицу: \(p + q = 1\).

Теперь рассмотрим вероятность получить 3 положительные ошибки из 5 взвешиваний. У нас есть 5 взвешиваний, причем из каждого взвешивания мы можем получить либо положительную, либо отрицательную ошибку. Чтобы получить 3 положительные ошибки, мы должны выбрать 3 взвешивания, в которых произойдет положительная ошибка, и 2 взвешивания, в которых ошибка не произойдет.

Теперь посчитаем количество способов выбрать 3 взвешивания из 5 для положительных ошибок. Это можно сделать с помощью комбинаторики. Количество комбинаций для выбора 3 объектов из 5 вычисляется по формуле сочетания:

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} = 10
\]

То есть есть 10 способов выбрать 3 взвешивания из 5.

Аналогично, количество способов выбрать 2 взвешивания без ошибок из 5 вычисляется также по формуле сочетания:

\[
C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = 10
\]

Итак, имеем 10 способов выбрать 2 взвешивания без ошибок из 5.

Теперь рассмотрим вероятность получить 3 положительные ошибки из 5 взвешиваний. Эта вероятность определяется следующей формулой:

\[
P = p^3 \cdot q^2
\]

где \(p\) - вероятность положительной ошибки, \(q\) - вероятность отрицательной ошибки.

Таким образом, вероятность получить 3 положительные ошибки из 5 взвешиваний равна:

\[
P = p^3 \cdot q^2 = \left(\frac{3}{10}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{3^3 \cdot 7^2}{10^5} = \frac{441}{100000} = 0,00441
\]

Итак, вероятность получить 3 положительные ошибки из 5 взвешиваний составляет 0,00441 или 0,441%.