Какова вероятность получить не менее трех красных кружек при случайном выборе четырех коробок из магазина? Ответ

Сирень

52

Чтобы найти вероятность получить не менее трех красных кружек, мы должны рассмотреть несколько возможных сценариев для выбора коробок из магазина. Давайте разберемся в этом путем последовательного анализа всех возможностей.

Начнем с того, что определим общее количество способов выбора 4 коробок из магазина. Мы можем использовать формулу сочетаний для этого. Количество способов выбрать 4 коробки из общего числа коробок в магазине будет равно \(C(n, k)\), где \(n\) - общее количество коробок, а \(k\) - количество выбираемых коробок. В данном случае \(n = 4\), а \(k = 4\), поскольку мы выбираем все 4 коробки.

\[C(4, 4) = \frac{{4!}}{{4!(4-4)!}} = \frac{{4!}}{{4! \cdot 0!}} = \frac{{4!}}{{4! \cdot 1}} = \frac{{4!}}{{4!}} = 1\]

Таким образом, всего есть всего 1 способ выбрать 4 коробки из магазина.

Теперь нужно определить, сколько способов выбрать ровно 3 красных кружки из этих 4 выбранных коробок. Мы знаем, что вероятность получить красный кружок из коробки равна \(p\), а для получения другого цвета кружка равна \(1 - p\). Вероятность выбора 3 красных кружек будет состоять из следующих комбинаций:

1) Выбрать 3 красных кружка и 1 любой другой цвет из выбранных 4 коробок:
\[C(4, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^1\]

2) Выбрать 4 красных кружка из выбранных 4 коробок:
\[C(4, 4) \cdot p^4 \cdot (1-p)^0\]

Обратите внимание, что мы учитываем вероятность нахождения красных кружек и вероятность нахождения другого цвета кружки при выборе, и применяем формулу сочетаний \(C(n, k)\) для определения количества способов выбора кружек определенного цвета.

Теперь добавим эти комбинации, чтобы найти общую вероятность получить не менее трех красных кружек:

\[P = C(4, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^1 + C(4, 4) \cdot p^4 \cdot (1-p)^0\]

\[P = \frac{{4!}}{{3!(4-3)!}} \cdot p^3 \cdot (1-p)^1 + \frac{{4!}}{{4!(4-4)!}} \cdot p^4 \cdot (1-p)^0\]

\[P = 4 \cdot p^3 \cdot (1-p) + 1 \cdot p^4\]

Теперь, если мы подставим значение \(p \approx 0.437\) и решим эту формулу, мы найдем искомую вероятность получить не менее трех красных кружек.