Какова вероятность того, что две девочки не будут сидеть рядом, когда на 21 стуле, расставленных случайным образом

Svetlyachok_V_Trave

64

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики под названием "Принцип умножения" и "Принцип дополнения".

1. Применим Принцип умножения:
- Сначала определим количество способов разместить 19 мальчиков на 19 стулах. Поскольку порядок роли не играет, это можно сделать \(\binom{21}{19}\) способами.
- Затем определим количество способов разместить 2 девочки на оставшихся 2 стулах (между мальчиками). Поскольку порядок роли не играет, это можно сделать \(\binom{2}{2}\) способами.

Итак, общее количество способов размещения всех детей на стулах будет равно \(\binom{21}{19} \times \binom{2}{2}\).

2. Применим Принцип дополнения:
- Всего есть \(\binom{21}{19} \times \binom{2}{2}\) способов разместить всех детей на стулах.

- Поскольку нам интересно найти вероятность того, что две девочки не будут сидеть рядом, мы должны найти количество способов, когда две девочки сидят рядом и вычесть его из общего количества способов размещения всех детей на стулах.

- Предположим, что две девочки сидят рядом как одна группа. Тогда общее количество способов размещения всех детей на стулах будет равно \(\binom{20}{19} \times \binom{2}{1}\), поскольку одна группа с 2 девочками рассматривается как один объект, а остается только 19 детей, которые нужно разместить на 19 стулах.

Итак, количество способов, когда две девочки сидят рядом, равно \(\binom{20}{19} \times \binom{2}{1}\). Тогда количество способов, когда две девочки не сидят рядом, равно \(\binom{21}{19} \times \binom{2}{2} - \binom{20}{19} \times \binom{2}{1}\).

3. Вычислим вероятность:
Вероятность того, что две девочки не будут сидеть рядом, равна количеству способов, когда две девочки не сидят рядом, деленному на общее количество способов размещения всех детей на стулах.

Таким образом, вероятность \(P\) равна:

\[P = \frac{{\binom{21}{19} \times \binom{2}{2} - \binom{20}{19} \times \binom{2}{1}}}{{\binom{21}{19} \times \binom{2}{2}}}\]

Теперь мы можем рассчитать эту вероятность, подставив значения в формулу.