Какова вероятность того, что игрок выиграл в шести шахматных партиях: а) хотя бы одну; б) ровно две; в) не менее двух?

Сузи

27

Давайте решим данную задачу пошагово. Чтобы найти вероятность выигрыша игрока в шести шахматных партиях, мы сначала должны определить общее количество возможных исходов.In LaTeX code, we can write it as $C_6^1$,

Это означает "6 выбирай 1" и равно числу способов выбрать одну выигранную шахматную партию из шести. Общее количество возможных исходов равно $2^6$, так как в каждой партии может быть два возможных исхода — выигрыш игрока или поражение игрока.

а) Теперь мы найдем вероятность выигрыша игрока хотя бы в одной партии. Для этого мы рассмотрим вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что игрок проиграет во всех шести партиях. Вероятность проигрыша в одной партии равна $\frac{1}{2}$, так как есть два возможных исхода — выигрыш игрока и поражение игрока. Таким образом, вероятность проигрыша во всех шести партиях будет равна ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$.

Теперь мы найдем вероятность выигрыша хотя бы в одной партии, используя формулу комбинаторики для вычитания. Вероятность выигрыша хотя бы в одной партии будет равна:

$$1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^6$$

Это будет нашим ответом для пункта а).

б) Чтобы найти вероятность выигрыша ровно в двух партиях, мы должны сначала определить общее количество способов выбора двух выигранных партий из шести. Общее количество способов выбрать две партии из шести можно выразить как $C_6^2$.

Теперь мы рассмотрим вероятность выигрыша в двух определенных партиях. Она равна ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, так как у нас есть два возможных исхода — выигрыш игрока или проигрыш игрока в каждой партии.

Таким образом, чтобы найти вероятность выигрыша ровно в двух партиях, мы вычисляем:

$$C_6^2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-2}$$

где ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-2}$ представляет вероятность поражения игрока в оставшихся четырех партиях.

в) Чтобы найти вероятность выигрыша не менее чем в двух партиях, мы должны рассмотреть вероятность выигрыша в двух, трех, четырех, пяти и шести партиях. Затем мы сложим эти вероятности, чтобы получить искомый результат.

В общем случае, чтобы найти вероятность выигрыша ровно в $k$ партиях, мы используем формулу:

$$C_6^k\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^k\times {(1-\frac{1}{2})}^{6-k}$$

где ${(1-\frac{1}{2})}^{6-k}$ представляет вероятность поражения игрока в оставшихся шести минус $k$ партиях.

Теперь мы можем найти искомую вероятность, сложив вероятности победы в двух, трех, четырех, пяти и шести партиях:

$$P(\text{Выигрыш не менее двух})=\sum _{k=2}^6{C}_6^k\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^k\times {(1-\frac{1}{2})}^{6-k}$$

Это будет нашим ответом для пункта в).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять, как найти вероятность выигрыша в шести шахматных партиях для каждого из заданных вопросов. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.