Какова вероятность того, что игрок выиграл в шести шахматных партиях: а) хотя бы одну; б) ровно две; в) не менее двух?

Сузи

27

Давайте решим данную задачу пошагово. Чтобы найти вероятность выигрыша игрока в шести шахматных партиях, мы сначала должны определить общее количество возможных исходов.In LaTeX code, we can write it as \(C_{6}^{1}\),

Это означает "6 выбирай 1" и равно числу способов выбрать одну выигранную шахматную партию из шести. Общее количество возможных исходов равно \(2^{6}\), так как в каждой партии может быть два возможных исхода — выигрыш игрока или поражение игрока.

а) Теперь мы найдем вероятность выигрыша игрока хотя бы в одной партии. Для этого мы рассмотрим вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что игрок проиграет во всех шести партиях. Вероятность проигрыша в одной партии равна \( \frac{1}{2} \), так как есть два возможных исхода — выигрыш игрока и поражение игрока. Таким образом, вероятность проигрыша во всех шести партиях будет равна \( \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \).

Теперь мы найдем вероятность выигрыша хотя бы в одной партии, используя формулу комбинаторики для вычитания. Вероятность выигрыша хотя бы в одной партии будет равна:

\[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \]

Это будет нашим ответом для пункта а).

б) Чтобы найти вероятность выигрыша ровно в двух партиях, мы должны сначала определить общее количество способов выбора двух выигранных партий из шести. Общее количество способов выбрать две партии из шести можно выразить как \(C_{6}^{2}\).

Теперь мы рассмотрим вероятность выигрыша в двух определенных партиях. Она равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \), так как у нас есть два возможных исхода — выигрыш игрока или проигрыш игрока в каждой партии.

Таким образом, чтобы найти вероятность выигрыша ровно в двух партиях, мы вычисляем:

\[ C_{6}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6-2} \]

где \(\left(\frac{1}{2}\right)^{6-2} \) представляет вероятность поражения игрока в оставшихся четырех партиях.

в) Чтобы найти вероятность выигрыша не менее чем в двух партиях, мы должны рассмотреть вероятность выигрыша в двух, трех, четырех, пяти и шести партиях. Затем мы сложим эти вероятности, чтобы получить искомый результат.

В общем случае, чтобы найти вероятность выигрыша ровно в \(k\) партиях, мы используем формулу:

\[ C_{6}^{k} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \times \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{6-k} \]

где \(\left(1 - \frac{1}{2}\right)^{6-k} \) представляет вероятность поражения игрока в оставшихся шести минус \(k\) партиях.

Теперь мы можем найти искомую вероятность, сложив вероятности победы в двух, трех, четырех, пяти и шести партиях:

\[ P(\text{Выигрыш не менее двух}) = \sum_{k=2}^{6} C_{6}^{k} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \times \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{6-k} \]

Это будет нашим ответом для пункта в).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять, как найти вероятность выигрыша в шести шахматных партиях для каждого из заданных вопросов. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.