Какова вероятность того, что из 10 человек, которые пойдут на субботник, будет 6 молодых людей и 4 девушки

Ластик

63

Чтобы найти вероятность того, что из 10 человек на субботнике будет 6 молодых людей и 4 девушки, нам нужно использовать понятие комбинаторики и вероятности.
Перед тем, как решить задачу, давайте посмотрим на общее количество возможных комбинаций из 10 человек, которые могут пойти на субботник из группы, где учатся 25 человек.
Общее количество комбинаций можно найти с помощью формулы для сочетаний. Формула для сочетаний имеет следующий вид:
\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]
где \(C(n, k)\) обозначает количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов, а \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).
Таким образом, общее количество комбинаций из 10 человек из группы из 25 человек будет:
\[
C(25, 10) = \frac{{25!}}{{10!(25-10)!}} = \frac{{25!}}{{10!15!}}
\]
Теперь нам нужно найти количество комбинаций, где 6 из 10 человек - молодые люди, а 4 - девушки.
Количество комбинаций можно найти с помощью формулы для сочетаний. Мы выбираем 6 молодых людей из 12, и 4 девушки из 13. Таким образом, количество комбинаций будет:
\[
C(12, 6) * C(13, 4)
\]
Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы найти вероятность того, что 6 молодых людей и 4 девушки пойдут на субботник. Вероятность определяется как отношение количества интересующих нас комбинаций к общему количеству комбинаций.
\[
P = \frac{{C(12, 6) * C(13, 4)}}{{C(25, 10)}}
\]
Теперь давайте рассчитаем значение вероятности:
\[
P = \frac{{C(12, 6) * C(13, 4)}}{{C(25, 10)}} = \frac{{\frac{{12!}}{{6!6!}} * \frac{{13!}}{{4!9!}}}}{{\frac{{25!}}{{10!15!}}}}
\]
Немного упрощаем выражение:
\[
P = \frac{{\frac{{12! \cdot 13!}}{{6! \cdot 6! \cdot 4! \cdot 9!}}}}{{\frac{{25!}}{{10! \cdot 15!}}}}
\]
Теперь упрощаем факториалы:
\[
P = \frac{{\frac{{12! \cdot 13!}}{{6! \cdot 6! \cdot 4! \cdot 9!}}}}{{\frac{{25!}}{{10! \cdot 15!}}}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}} = ?
\]
Мы получили довольно сложное выражение. Я остановлюсь здесь и предложу записать это выражение сокращенным виде, чтобы упростить его. Вы готовы?