Какова вероятность того, что из 4 случайно выбранных галстуков все будут одного цвета, если в коробке лежат

Anatoliy

50

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить вероятность выбрать 4 галстука одного цвета из общего количества галстуков в коробке, учитывая, что в коробке 12 красных галстуков и остальные галстуки белые.

Давайте разобьем решение на несколько шагов:

Шаг 1: Определение общего количества возможных комбинаций выбора 4 галстуков из 30.
Воспользуемся формулой сочетаний \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\), где \(n\) - общее количество элементов для выбора, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.
В данном случае у нас \(n = 30\) и \(k = 4\), поэтому общее количество комбинаций будет \(C(30, 4) = \frac{{30!}}{{4! \cdot (30 - 4)!}}\).

Шаг 2: Определение количества комбинаций выбора 4 красных галстуков из 12.
Также воспользуемся формулой сочетаний, но у нас теперь \(n = 12\) и \(k = 4\). Количество комбинаций будет \(C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4! \cdot (12 - 4)!}}\).

Шаг 3: Вычисление вероятности выбора 4 галстуков одного цвета.
Вероятность выбрать 4 галстука одного цвета будет равна отношению количества комбинаций выбора 4 галстуков одного цвета к общему количеству возможных комбинаций. То есть вероятность будет \(\frac{{C(12, 4)}}{{C(30, 4)}}\).

Выполним вычисления:

\[
\frac{{C(12, 4)}}{{C(30, 4)}} = \frac{{\frac{{12!}}{{4! \cdot (12 - 4)!}}}}{{\frac{{30!}}{{4! \cdot (30 - 4)!}}}} = \frac{{12! \cdot (30 - 4)!}}{{30! \cdot 4! \cdot (12 - 4)!}} = \frac{{12! \cdot 26!}}{{30! \cdot 4! \cdot 8!}}
\]

В итоге мы получаем ответ в виде дроби. Вероятность составляет \(\frac{{12! \cdot 26!}}{{30! \cdot 4! \cdot 8!}}\) или около 0,091 (округленно до трех знаков после запятой).

Таким образом, вероятность выбрать 4 галстука одного цвета из 30 галстуков, включая 12 красных и белые, составляет примерно 0,091.