Какова вероятность того, что из восьми судов, попавших в шторм в этот пролив, как минимум три выйдут из него

Lizonka

26

Для решения данной задачи воспользуемся понятием биномиального распределения.

Для начала, нам понадобится найти вероятность того, что один судно выйдет из шторма без повреждений. Пусть это будет вероятность $p$. В данной задаче вероятность постоянна для всех судов и не указана, поэтому предположим, что она равна 0.5 (рандомный выбор).

Теперь мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения для нахождения вероятности того, что как минимум три судна выйдут из шторма без повреждений.

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

$$P(X\ge k)=\sum _k^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$

где $P(X\ge k)$ - вероятность того, что количество успехов ($X$) будет больше или равно $k$,
$n$ - общее количество независимых испытаний,
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ - количество комбинаций из $n$ испытаний, в которых произошло ровно $k$ успехов,
$p$ - вероятность успеха в одном испытании,
$(1-p{)}^{n-k}$ - вероятность фиаско в $n-k$ испытаниях.

Теперь подставим значения в нашу формулу. В нашем случае $k=3$, $n=8$ и $p=0.5$:

$$P(X\ge 3)=\sum _{k=3}^8(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}){0.5}^k(1-0.5{)}^{8-k}$$

Вычислим каждую комбинацию для значений $k$ от 3 до 8 и сложим получившиеся вероятности для каждого значения $k$:

$$P(X\ge 3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}){0.5}^3(1-0.5{)}^{8-3}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}){0.5}^4(1-0.5{)}^{8-4}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}){0.5}^5(1-0.5{)}^{8-5}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}){0.5}^6(1-0.5{)}^{8-6}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7}){0.5}^7(1-0.5{)}^{8-7}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8}){0.5}^8(1-0.5{)}^{8-8}$$

Теперь вычислим каждую комбинацию и получим окончательный результат суммирования:

$$P(X\ge 3)=0.21875+0.27344+0.27344+0.16406+0.05469+0.00781=0.99219$$

Таким образом, вероятность того, что из восьми судов, попавших в шторм, как минимум три выйдут из него без повреждений, равна $\approx 0.99219$ или около 99.22%.