Какова вероятность того, что измеренное значение будет отличаться от истинного более чем на 15 м, исходя из информации

Gennadiy

69

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала, давайте определим основные величины и понятия, используемые в данной задаче:

- Истинное значение: это значение, которое мы хотим измерить, но не можем точно узнать из-за ошибок измерений.
- Измеренное значение: это значение, которое мы получаем с помощью измерительного прибора, такого как дальномер.
- Систематическая ошибка: это ошибка, которая всегда присутствует в результатах измерения, она может быть положительной или отрицательной.
- Среднеквадратичная ошибка: это мера разброса результатов измерений относительно истинного значения.

В данной задаче нам известно, что систематическая ошибка равна +5 метров, а среднеквадратичная ошибка равна \(σ^2 = 10\).

Для определения вероятности того, что измеренное значение будет отличаться от истинного более чем на 15 метров нам понадобится использовать нормальное распределение.

Шаг 1: Найдем стандартное отклонение (σ) из среднеквадратичной ошибки (σ^2).
Формула для этого выглядит следующим образом: \(\sigma = \sqrt{σ^2}\).

Подставляя известное значение в формулу, получим \(\sigma = \sqrt{10}\).
Вычислив данное выражение, получим \(\sigma \approx 3.1623\).

Шаг 2: Найдем z-оценку, которая покажет, какой процент значений лежит в интервале между реальным и измеренным значениями.
Формула для вычисления z-оценки имеет вид: \(z = \frac{|x - \mu|}{\sigma}\), где x - измеренное значение, \(\mu\) - истинное значение, \(\sigma\) - стандартное отклонение.

Подставив известные значения, получим \(z = \frac{|15 - 5|}{3.1623} \approx 3.1623\).

Шаг 3: Воспользуемся таблицей значений для стандартного нормального распределения, чтобы найти соответствующую вероятность.
Из таблицы мы видим, что значение z-оценки около 3.1623 соответствует вероятности примерно 0.9996.

Теперь мы можем сделать вывод: вероятность того, что измеренное значение будет отличаться от истинного более чем на 15 метров, составляет примерно 0.9996 или 99.96%.

Однако, обратите внимание, что данное значение округлено до 4 знаков после запятой для удобства. В действительности, вероятность может быть немного более точной и равняться 0.999593.