Какова вероятность того, что как минимум 60 спортсменов выполнит нормативы ГТО первой ступени из 120 спортсменов, если

Ледяной_Взрыв_4956

45

Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как у нас есть определенное количество испытаний (в данном случае количество спортсменов) и вероятность успеха в каждом испытании (вероятность выполнения нормативов).

Вероятность того, что как минимум 60 спортсменов выполнит нормативы можно рассчитать как сумму вероятностей, при которых 60 или больше спортсменов выполнит нормативы.

Формула биномиального распределения имеет вид:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где \(P(X=k)\) - вероятность того, что именно k испытаний окажутся успешными, \(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k (факториалы), p - вероятность успеха в одном испытании, (1-p) - вероятность неудачи в одном испытании, n - общее количество испытаний.

В нашем случае n = 120, p = 0.7, k принимает значения от 60 до 120.

Теперь посчитаем вероятность того, что как минимум 60 спортсменов выполнит нормативы:
\[P(X \geq 60) = P(X=60) + P(X=61) + ... + P(X=120)\]

Для удобства расчетов воспользуемся табличным методом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k & C_{120}^{k} & p^k & (1-p)^{n-k} & P(X=k) \\
\hline
60 & & & & \\
\hline
61 & & & & \\
\hline
62 & & & & \\
\hline
... & ... & ... & ... & ... \\
\hline
120 & & & & \\
\hline
\end{array}
\]

Давайте заполним таблицу и найдем значения для каждого k:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k & C_{120}^{k} & p^k & (1-p)^{n-k} & P(X=k) \\
\hline
60 & C_{120}^{60} & 0.7^{60} & 0.3^{60} & \\
\hline
61 & C_{120}^{61} & 0.7^{61} & 0.3^{59} & \\
\hline
62 & C_{120}^{62} & 0.7^{62} & 0.3^{58} & \\
\hline
... & ... & ... & ... & ... \\
\hline
120 & C_{120}^{120} & 0.7^{120} & 0.3^{0} & \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь остается только вычислить значения для каждого k, используя формулу для биномиального распределения:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

После рассчетов, найденные значения помещаются в соответствующие ячейки таблицы.

Затем необходимо сложить все значения в столбце \(P(X=k)\) для \(k\) от 60 до 120 и получить искомую вероятность \(P(X \geq 60)\).

Давайте я выполню все расчеты и представлю вам окончательный результат.