Какова вероятность того, что как минимум одна клетка будет покрашена дважды в клетчатом прямоугольнике высотой

Murka_9174

41

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно посчитать общее количество возможных раскрасок клеток прямоугольника высотой 4 и шириной 27. Для этого у нас есть два варианта: клетка может быть покрашена Васей или Петей.

Для каждой горизонтальной клетки Вася может выбрать одну из трех цветов, поэтому у Васи будет \(3^3\) способов выбрать цвета для горизонтального прямоугольника размером 1×3 клетки.

Для каждой вертикальной клетки Петя также может выбрать один из трех цветов, поэтому у Пети будет \(3^4\) способов выбрать цвета для вертикального прямоугольника размером 3×1 клетки.

Теперь мы можем найти общее количество возможных раскрасок, перемножив количество способов выбора цветов для Васи и Пети: \(3^3 \cdot 3^4 = 3^7\).

Далее, нам нужно посчитать количество раскрасок, в которых ни одна клетка не будет покрашена дважды. Если ни одна клетка не может быть покрашена дважды, это означает, что у Васи и Пети должны быть разные цвета. У Васи есть 3 способа выбора цвета для горизонтального прямоугольника размером 1×3 клетки, а у Пети остается 2 способа выбора цвета для вертикального прямоугольника размером 3×1 клетки (ведь у Пети не может быть того же самого цвета, что и у Васи). Таким образом, общее количество раскрасок без повторяющихся цветов будет \(3 \cdot 2 = 6\).

Теперь мы можем найти вероятность того, что как минимум одна клетка будет покрашена дважды, разделив количество раскрасок с повторяющимися цветами на общее количество раскрасок:

\(\text{Вероятность} = \frac{\text{количество раскрасок с повторяющимися цветами}}{\text{общее количество раскрасок}} = \frac{3^7 - 6}{3^7}\)

Выразим ответ в процентах и округлим до ближайшего целого числа:

\(\text{Ответ} = \frac{3^7 - 6}{3^7} \cdot 100\% \approx 99\%\)

Таким образом, вероятность того, что как минимум одна клетка будет покрашена дважды в заданном прямоугольнике, составляет около 99%.