Какова вероятность того, что не менее 3 рыбаков расположатся на расстоянии больше 200 метров от берега, из 10 любителей

Ledyanoy_Samuray

39

Для решения данной задачи вам понадобится использовать понятие вероятности и геометрических фигур. Допустим, что озеро имеет радиус \(R\) метров.

Чтобы определить вероятность того, что не менее трех рыбаков будут располагаться на расстоянии больше 200 метров от берега, давайте разобьем задачу на несколько этапов.

Шаг 1: Определение площади, доступной для выбора места для каждого рыбака. Так как рыбаки могут выбирать место независимо друг от друга на льду, для каждого рыбака доступна область радиусом \(R\) метров. Следовательно, площадь, доступная для выбора каждого рыбака, будет равна площади круга радиусом \(R\), что равно \(\pi R^2\).

Шаг 2: Определение вероятности того, что один рыбак выберет место на расстоянии больше 200 метров от берега. Чтобы это произошло, место для рыбака должно находиться в зоне отступления ширины 200 метров от самого внешнего круга озера. Формально, это зона будет кольцом с внутренним радиусом \(R - 200\) метров и внешним радиусом \(R\) метров. Следовательно, площадь этого кольца можно выразить как разность площадей двух кругов: \(\pi R^2 - \pi (R - 200)^2\).

Шаг 3: Чтобы определить вероятность того, что не менее трех рыбаков выберут места на расстоянии больше 200 метров от берега, мы должны рассмотреть все возможные комбинации этих рыбаков. Для этого мы должны рассмотреть все возможные случаи, когда 3, 4, 5, ..., 10 рыбаков располагаются на нужном нам расстоянии от берега.

Для каждого случая мы можем вычислить вероятность по формуле:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}}
\]

Количество благоприятных исходов будет равно количеству способов выбрать \(n\) рыбаков из 10 и для каждого из них выбрать место на расстоянии больше 200 метров от берега. Общее количество возможных исходов будет равно общему количеству способов выбрать 3, 4, 5, ..., 10 рыбаков из 10.

Таким образом, общая вероятность будет равна сумме вероятностей для каждого случая:

\[
\text{{Вероятность}} = \sum_{n=3}^{10} \frac{{C(10,n) \cdot \text{{площадь кольца для }} n \text{{ рыбаков}}}}{{\text{{площадь доступной области}}}}
\]

Где \(C(10,n)\) - это количество способов выбрать \(n\) рыбаков из 10, которое может быть вычислено с использованием формулы сочетаний. Площадь кольца для \(n\) рыбаков можно выразить аналогично шагу 2, заменив радиус \(R\) на \(R - 200\).

Остается только вычислить все эти значения и выполнить необходимые вычисления для получения окончательного ответа.