Какова вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, если в ящике находятся 5 белых и 7 черных воздушных

Lisichka123_3439

10

Чтобы решить данную задачу о вероятности, мы можем использовать комбинаторику и правило умножения вероятностей.

Для начала, определим общее количество возможных исходов при вытягивании двух шаров одновременно из ящика. Пусть каждый шар из ящика имеет равную вероятность быть выбранным. Тогда всего возможных комбинаций будет равно количеству сочетаний из 12 шаров по 2.

Мы можем использовать формулу сочетаний для этого:

\[
C(n, k) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов в каждой комбинации.

В нашей задаче, общее количество объектов, то есть шаров в ящике, равно 12, а количество объектов в каждой комбинации, то есть вытягиваемых шаров, равно 2.

\[
C(12, 2) = \dfrac{{12!}}{{2! \cdot (12-2)!}} = \dfrac{{12!}}{{2! \cdot 10!}}
\]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, нам нужно определить количество благоприятных исходов. В данном случае, благоприятными исходами будут все комбинации, в которых оба извлеченных шара окажутся белыми.

В ящике находится 5 белых шаров. Мы должны выбрать 2 из них. Используем формулу сочетаний:

\[
C(5, 2) = \dfrac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = \dfrac{{5!}}{{2! \cdot 3!}}
\]

Теперь мы можем найти вероятность путем деления числа благоприятных исходов на общее число возможных исходов:

\[
P = \dfrac{{C(5, 2)}}{{C(12, 2)}}
\]

\[
P = \dfrac{{\dfrac{{5!}}{{2! \cdot 3!}}}}{{\dfrac{{12!}}{{2! \cdot 10!}}}}
\]

Упростим это выражение:

\[
P = \dfrac{{5! \cdot 2! \cdot 10!}}{{2! \cdot 3! \cdot 12!}}
\]

\[
P = \dfrac{{5!}}{{3! \cdot 12 \cdot 11}}
\]

Вычислим факториалы:

\[
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
\]
\[
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6
\]

Подставим найденные значения:

\[
P = \dfrac{{120}}{{6 \cdot 12 \cdot 11}}
\]

Выполним вычисления:

\[
P = \dfrac{{120}}{{6 \cdot 132}} = \dfrac{{120}}{{792}}
\]

Таким образом, вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, составляет \(\dfrac{{120}}{{792}}\) или приблизительно 0,1515 (округлим до четырех десятичных знаков).