Какова вероятность того, что событие произойдет в 144 независимых испытаниях, если вероятность его появления в каждом

Bublik

47

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний с двумя возможными исходами (событие происходит или не происходит) и известной вероятностью появления события в каждом испытании.

Формула для биномиального распределения имеет вид:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность, что событие произойдет ровно \(k\) раз
- \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\) (так как порядок не имеет значения)
- \(p\) - вероятность появления события в каждом испытании
- \(n\) - общее количество испытаний

В данной задаче \(k\) равно 144, \(p\) равно 0,8, \(n\) равно 144. Подставим эти значения в формулу и вычислим вероятность:

\[P(X = 144) = C_{144}^{144} \cdot 0,8^{144} \cdot (1-0,8)^{144-144}\]

Расчет числа сочетаний \(C_{144}^{144}\):

\[C_{144}^{144} = \frac{144!}{144!(144-144)!} = 1\]

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[P(X = 144) = 1 \cdot 0,8^{144} \cdot (1-0,8)^{0}\]

\[P(X = 144) = 0,8^{144} \cdot 1\]

\[P(X = 144) = (0,8)^{144}\]

После вычисления данного выражения на калькуляторе, получаем приблизительно \(1.2488 \times 10^{-12}\) или \(0.0000000000012488\).

Таким образом, вероятность того, что событие произойдет ровно 144 раза из 144 независимых испытаний с вероятностью 0,8 в каждом испытании, составляет приблизительно \(1.2488 \times 10^{-12}\) или \(0.0000000000012488\).